Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14887 / 6813
↖ ↑ ↗
← N 71.866490°
W 16.446533°		 ← 380.19 m → N 71.866490°
W 16.435547°		 →
↑
380.28 m
↓
↑
380.28 m
↓
N 71.863070°
W 16.446533°		 ← 380.26 m →
144 595 m²		 N 71.863070°
W 16.435547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454330444335938 y=0.207931518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454330444335938 × 215)
    floor (0.454330444335938 × 32768)
    floor (14887.5)     		tx = 14887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207931518554688 × 215)
    floor (0.207931518554688 × 32768)
    floor (6813.5)     		ty = 6813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14887 / 6813 ti = "15/14887/6813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14887/6813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14887 ÷ 215
    14887 ÷ 32768     		x = 0.454315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6813 ÷ 215
    6813 ÷ 32768     		y = 0.207916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454315185546875 × 2 - 1) × π
    -0.09136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28704615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207916259765625 × 2 - 1) × π
    0.58416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83521626505423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28704615} λ = -0.28704615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83521626505423))-π/2
    2×atan(6.26648922153396)-π/2
    2×1.4125515959587-π/2
    2.82510319191741-1.57079632675     		φ = 1.25430687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28704615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.446533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25430687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.866490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14887 KachelY 6813 -0.28704615 1.25430687 -16.446533 71.866490
    Oben rechts KachelX + 1 14888 KachelY 6813 -0.28685441 1.25430687 -16.435547 71.866490
    Unten links KachelX 14887 KachelY + 1 6814 -0.28704615 1.25424718 -16.446533 71.863070
    Unten rechts KachelX + 1 14888 KachelY + 1 6814 -0.28685441 1.25424718 -16.435547 71.863070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25430687-1.25424718) × R
    5.96900000000566e-05 × 6371000     		dl = 380.284990000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25430687-1.25424718) × R
    5.96900000000566e-05 × 6371000     		dr = 380.284990000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28704615--0.28685441) × cos(1.25430687) × R
    0.000191739999999996 × 0.311232297170117 × 6371000     		do = 380.193761481018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28704615--0.28685441) × cos(1.25424718) × R
    0.000191739999999996 × 0.311289022044111 × 6371000     		du = 380.263055199599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25430687)-sin(1.25424718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311232297170117-0.311289022044111)×R²
    abs(-0.28685441--0.28704615)×5.67248739941628e-05×R²
    0.000191739999999996×5.67248739941628e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.67248739941628e-05×40589641000000     		ar = 144595.156507116m²