Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14884 / 14940
↖ ↑ ↗
← N 69.480672°
W 98.239746°		 ← 214.12 m → N 69.480672°
W 98.234253°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
N 69.478746°
W 98.239746°		 ← 214.14 m →
45 851 m²		 N 69.478746°
W 98.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227119445800781 y=0.227973937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227119445800781 × 216)
    floor (0.227119445800781 × 65536)
    floor (14884.5)     		tx = 14884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227973937988281 × 216)
    floor (0.227973937988281 × 65536)
    floor (14940.5)     		ty = 14940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14884 / 14940 ti = "16/14884/14940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14884/14940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14884 ÷ 216
    14884 ÷ 65536     		x = 0.22711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14940 ÷ 216
    14940 ÷ 65536     		y = 0.22796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22796630859375 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70923809285272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71460703} λ = -1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70923809285272))-π/2
    2×atan(5.52475052673767)-π/2
    2×1.39173140855948-π/2
    2.78346281711896-1.57079632675     		φ = 1.21266649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21266649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.480672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14884 KachelY 14940 -1.71460703 1.21266649 -98.239746 69.480672
    Oben rechts KachelX + 1 14885 KachelY 14940 -1.71451115 1.21266649 -98.234253 69.480672
    Unten links KachelX 14884 KachelY + 1 14941 -1.71460703 1.21263288 -98.239746 69.478746
    Unten rechts KachelX + 1 14885 KachelY + 1 14941 -1.71451115 1.21263288 -98.234253 69.478746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21266649-1.21263288) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21266649-1.21263288) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71460703--1.71451115) × cos(1.21266649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350523338450724 × 6371000     		do = 214.117700067026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71460703--1.71451115) × cos(1.21263288) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350554815832575 × 6371000     		du = 214.136928072315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21266649)-sin(1.21263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350523338450724-0.350554815832575)×R²
    abs(-1.71451115--1.71460703)×3.14773818503866e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14773818503866e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14773818503866e-05×40589641000000     		ar = 45850.9340183957m²