Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14883 / 10981
↖ ↑ ↗
← N 75.881392°
W 98.245239°		 ← 148.99 m → N 75.881392°
W 98.239746°		 →
↑
149.02 m
↓
↑
149.02 m
↓
N 75.880052°
W 98.245239°		 ← 149 m →
22 203 m²		 N 75.880052°
W 98.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227104187011719 y=0.167564392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227104187011719 × 216)
    floor (0.227104187011719 × 65536)
    floor (14883.5)     		tx = 14883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167564392089844 × 216)
    floor (0.167564392089844 × 65536)
    floor (10981.5)     		ty = 10981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14883 / 10981 ti = "16/14883/10981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14883/10981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14883 ÷ 216
    14883 ÷ 65536     		x = 0.227096557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10981 ÷ 216
    10981 ÷ 65536     		y = 0.167556762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227096557617188 × 2 - 1) × π
    -0.545806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71470290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167556762695312 × 2 - 1) × π
    0.664886474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08880246404433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71470290} λ = -1.71470290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08880246404433))-π/2
    2×atan(8.07523898264134)-π/2
    2×1.44758823403068-π/2
    2.89517646806136-1.57079632675     		φ = 1.32438014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71470290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32438014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.881392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14883 KachelY 10981 -1.71470290 1.32438014 -98.245239 75.881392
    Oben rechts KachelX + 1 14884 KachelY 10981 -1.71460703 1.32438014 -98.239746 75.881392
    Unten links KachelX 14883 KachelY + 1 10982 -1.71470290 1.32435675 -98.245239 75.880052
    Unten rechts KachelX + 1 14884 KachelY + 1 10982 -1.71460703 1.32435675 -98.239746 75.880052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32438014-1.32435675) × R
    2.33899999999565e-05 × 6371000     		dl = 149.017689999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32438014-1.32435675) × R
    2.33899999999565e-05 × 6371000     		dr = 149.017689999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71470290--1.71460703) × cos(1.32438014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243929976764563 × 6371000     		do = 148.989446544176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71470290--1.71460703) × cos(1.32435675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243952660152531 × 6371000     		du = 149.003301280129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32438014)-sin(1.32435675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243929976764563-0.243952660152531)×R²
    abs(-1.71460703--1.71470290)×2.26833879672927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26833879672927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26833879672927e-05×40589641000000     		ar = 22203.0954596387m²