Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14882 / 8958
↖ ↑ ↗
← N 62.925235°
W 16.501465°		 ← 556 m → N 62.925235°
W 16.490479°		 →
↑
556.06 m
↓
↑
556.06 m
↓
N 62.920235°
W 16.501465°		 ← 556.10 m →
309 198 m²		 N 62.920235°
W 16.490479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454177856445312 y=0.273391723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454177856445312 × 215)
    floor (0.454177856445312 × 32768)
    floor (14882.5)     		tx = 14882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273391723632812 × 215)
    floor (0.273391723632812 × 32768)
    floor (8958.5)     		ty = 8958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14882 / 8958 ti = "15/14882/8958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14882/8958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14882 ÷ 215
    14882 ÷ 32768     		x = 0.45416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8958 ÷ 215
    8958 ÷ 32768     		y = 0.27337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.0916748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28800489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27337646484375 × 2 - 1) × π
    0.4532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42391766631415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28800489} λ = -0.28800489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42391766631415))-π/2
    2×atan(4.15336008762683)-π/2
    2×1.33452443584055-π/2
    2.6690488716811-1.57079632675     		φ = 1.09825254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28800489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.501465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09825254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.925235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14882 KachelY 8958 -0.28800489 1.09825254 -16.501465 62.925235
    Oben rechts KachelX + 1 14883 KachelY 8958 -0.28781315 1.09825254 -16.490479 62.925235
    Unten links KachelX 14882 KachelY + 1 8959 -0.28800489 1.09816526 -16.501465 62.920235
    Unten rechts KachelX + 1 14883 KachelY + 1 8959 -0.28781315 1.09816526 -16.490479 62.920235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09825254-1.09816526) × R
    8.72800000000229e-05 × 6371000     		dl = 556.060880000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09825254-1.09816526) × R
    8.72800000000229e-05 × 6371000     		dr = 556.060880000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28800489--0.28781315) × cos(1.09825254) × R
    0.000191739999999996 × 0.455152777292286 × 6371000     		do = 556.003499703312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28800489--0.28781315) × cos(1.09816526) × R
    0.000191739999999996 × 0.455230490836502 × 6371000     		du = 556.098432668053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09825254)-sin(1.09816526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455152777292286-0.455230490836502)×R²
    abs(-0.28781315--0.28800489)×7.77135442162069e-05×R²
    0.000191739999999996×7.77135442162069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.77135442162069e-05×40589641000000     		ar = 309198.189778471m²