Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14882 / 21210
↖ ↑ ↗
← S 46.754917°
W 16.501465°		 ← 836.93 m → S 46.754917°
W 16.490479°		 →
↑
836.89 m
↓
↑
836.89 m
↓
S 46.762443°
W 16.501465°		 ← 836.81 m →
700 370 m²		 S 46.762443°
W 16.490479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454177856445312 y=0.647293090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454177856445312 × 215)
    floor (0.454177856445312 × 32768)
    floor (14882.5)     		tx = 14882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647293090820312 × 215)
    floor (0.647293090820312 × 32768)
    floor (21210.5)     		ty = 21210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14882 / 21210 ti = "15/14882/21210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14882/21210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14882 ÷ 215
    14882 ÷ 32768     		x = 0.45416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21210 ÷ 215
    21210 ÷ 32768     		y = 0.64727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.0916748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28800489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.2945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.925373910265564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28800489} λ = -0.28800489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925373910265564))-π/2
    2×atan(0.396383179622636)-π/2
    2×0.377384545155566-π/2
    0.754769090311132-1.57079632675     		φ = -0.81602724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28800489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.501465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81602724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.754917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14882 KachelY 21210 -0.28800489 -0.81602724 -16.501465 -46.754917
    Oben rechts KachelX + 1 14883 KachelY 21210 -0.28781315 -0.81602724 -16.490479 -46.754917
    Unten links KachelX 14882 KachelY + 1 21211 -0.28800489 -0.81615860 -16.501465 -46.762443
    Unten rechts KachelX + 1 14883 KachelY + 1 21211 -0.28781315 -0.81615860 -16.490479 -46.762443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81602724--0.81615860) × R
    0.000131359999999914 × 6371000     		dl = 836.894559999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81602724--0.81615860) × R
    0.000131359999999914 × 6371000     		dr = 836.894559999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28800489--0.28781315) × cos(-0.81602724) × R
    0.000191739999999996 × 0.68512048287262 × 6371000     		do = 836.926423830164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28800489--0.28781315) × cos(-0.81615860) × R
    0.000191739999999996 × 0.685024790427807 × 6371000     		du = 836.809528280217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81602724)-sin(-0.81615860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68512048287262-0.685024790427807)×R²
    abs(-0.28781315--0.28800489)×9.56924448132224e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56924448132224e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56924448132224e-05×40589641000000     		ar = 700370.257605586m²