Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14882 / 10980
↖ ↑ ↗
← N 75.882733°
W 98.250732°		 ← 148.98 m → N 75.882733°
W 98.245239°		 →
↑
149.02 m
↓
↑
149.02 m
↓
N 75.881392°
W 98.250732°		 ← 148.99 m →
22 201 m²		 N 75.881392°
W 98.245239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227088928222656 y=0.167549133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227088928222656 × 216)
    floor (0.227088928222656 × 65536)
    floor (14882.5)     		tx = 14882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167549133300781 × 216)
    floor (0.167549133300781 × 65536)
    floor (10980.5)     		ty = 10980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14882 / 10980 ti = "16/14882/10980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14882/10980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14882 ÷ 216
    14882 ÷ 65536     		x = 0.227081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10980 ÷ 216
    10980 ÷ 65536     		y = 0.16754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.54583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71479877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16754150390625 × 2 - 1) × π
    0.6649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.08889833784357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71479877} λ = -1.71479877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08889833784357))-π/2
    2×atan(8.0760132235965)-π/2
    2×1.44759992673384-π/2
    2.89519985346769-1.57079632675     		φ = 1.32440353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71479877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.250732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32440353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.882733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14882 KachelY 10980 -1.71479877 1.32440353 -98.250732 75.882733
    Oben rechts KachelX + 1 14883 KachelY 10980 -1.71470290 1.32440353 -98.245239 75.882733
    Unten links KachelX 14882 KachelY + 1 10981 -1.71479877 1.32438014 -98.250732 75.881392
    Unten rechts KachelX + 1 14883 KachelY + 1 10981 -1.71470290 1.32438014 -98.245239 75.881392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32440353-1.32438014) × R
    2.33900000001785e-05 × 6371000     		dl = 149.017690001138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32440353-1.32438014) × R
    2.33900000001785e-05 × 6371000     		dr = 149.017690001138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71479877--1.71470290) × cos(1.32440353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243907293243144 × 6371000     		do = 148.975591726713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71479877--1.71470290) × cos(1.32438014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243929976764563 × 6371000     		du = 148.989446544176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32440353)-sin(1.32438014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243907293243144-0.243929976764563)×R²
    abs(-1.71470290--1.71479877)×2.2683521419653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2683521419653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2683521419653e-05×40589641000000     		ar = 22201.0308531324m²