Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14881 / 21213
↖ ↑ ↗
← S 46.777493°
W 16.512451°		 ← 836.62 m → S 46.777493°
W 16.501465°		 →
↑
836.58 m
↓
↑
836.58 m
↓
S 46.785016°
W 16.512451°		 ← 836.50 m →
699 847 m²		 S 46.785016°
W 16.501465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454147338867188 y=0.647384643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454147338867188 × 215)
    floor (0.454147338867188 × 32768)
    floor (14881.5)     		tx = 14881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647384643554688 × 215)
    floor (0.647384643554688 × 32768)
    floor (21213.5)     		ty = 21213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14881 / 21213 ti = "15/14881/21213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14881/21213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14881 ÷ 215
    14881 ÷ 32768     		x = 0.454132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21213 ÷ 215
    21213 ÷ 32768     		y = 0.647369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.09173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28819664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.29473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.925949153061005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28819664} λ = -0.28819664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925949153061005))-π/2
    2×atan(0.396155228624194)-π/2
    2×0.377187531128721-π/2
    0.754375062257443-1.57079632675     		φ = -0.81642126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28819664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81642126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.777493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14881 KachelY 21213 -0.28819664 -0.81642126 -16.512451 -46.777493
    Oben rechts KachelX + 1 14882 KachelY 21213 -0.28800489 -0.81642126 -16.501465 -46.777493
    Unten links KachelX 14881 KachelY + 1 21214 -0.28819664 -0.81655257 -16.512451 -46.785016
    Unten rechts KachelX + 1 14882 KachelY + 1 21214 -0.28800489 -0.81655257 -16.501465 -46.785016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81642126--0.81655257) × R
    0.000131309999999996 × 6371000     		dl = 836.576009999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81642126--0.81655257) × R
    0.000131309999999996 × 6371000     		dr = 836.576009999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28819664--0.28800489) × cos(-0.81642126) × R
    0.000191749999999991 × 0.68483341380058 × 6371000     		do = 836.619378010239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28819664--0.28800489) × cos(-0.81655257) × R
    0.000191749999999991 × 0.684737722344366 × 6371000     		du = 836.502477571439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81642126)-sin(-0.81655257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68483341380058-0.684737722344366)×R²
    abs(-0.28800489--0.28819664)×9.56914562140199e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56914562140199e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56914562140199e-05×40589641000000     		ar = 699846.804098554m²