Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14880 / 6815
↖ ↑ ↗
← N 71.859650°
W 16.523438°		 ← 380.35 m → N 71.859650°
W 16.512451°		 →
↑
380.41 m
↓
↑
380.41 m
↓
N 71.856229°
W 16.523438°		 ← 380.42 m →
144 704 m²		 N 71.856229°
W 16.512451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454116821289062 y=0.207992553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454116821289062 × 215)
    floor (0.454116821289062 × 32768)
    floor (14880.5)     		tx = 14880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207992553710938 × 215)
    floor (0.207992553710938 × 32768)
    floor (6815.5)     		ty = 6815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14880 / 6815 ti = "15/14880/6815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14880/6815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14880 ÷ 215
    14880 ÷ 32768     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6815 ÷ 215
    6815 ÷ 32768     		y = 0.207977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207977294921875 × 2 - 1) × π
    0.58404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83483276985727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83483276985727))-π/2
    2×atan(6.26408651375858)-π/2
    2×1.4124919070363-π/2
    2.82498381407259-1.57079632675     		φ = 1.25418749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25418749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.859650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14880 KachelY 6815 -0.28838839 1.25418749 -16.523438 71.859650
    Oben rechts KachelX + 1 14881 KachelY 6815 -0.28819664 1.25418749 -16.512451 71.859650
    Unten links KachelX 14880 KachelY + 1 6816 -0.28838839 1.25412778 -16.523438 71.856229
    Unten rechts KachelX + 1 14881 KachelY + 1 6816 -0.28819664 1.25412778 -16.512451 71.856229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25418749-1.25412778) × R
    5.97100000001571e-05 × 6371000     		dl = 380.412410001001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25418749-1.25412778) × R
    5.97100000001571e-05 × 6371000     		dr = 380.412410001001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28819664) × cos(1.25418749) × R
    0.000191749999999991 × 0.311345745809015 × 6371000     		do = 380.352183400796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28819664) × cos(1.25412778) × R
    0.000191749999999991 × 0.311402487470188 × 6371000     		du = 380.421501241196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25418749)-sin(1.25412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311345745809015-0.311402487470188)×R²
    abs(-0.28819664--0.28838839)×5.67416611735871e-05×R²
    0.000191749999999991×5.67416611735871e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.67416611735871e-05×40589641000000     		ar = 144703.875462633m²