Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1488 / 1872
↖ ↑ ↗
← N 69.411243°
W114.609375°		 ← 1 718.37 m → N 69.411243°
W114.565430°		 →
↑
1 719.02 m
↓
↑
1 719.02 m
↓
N 69.395783°
W114.609375°		 ← 1 719.61 m →
2 954 986 m²		 N 69.395783°
W114.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.18170166015625 y=0.22857666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.18170166015625 × 213)
    floor (0.18170166015625 × 8192)
    floor (1488.5)     		tx = 1488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22857666015625 × 213)
    floor (0.22857666015625 × 8192)
    floor (1872.5)     		ty = 1872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1488 / 1872 ti = "13/1488/1872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1488/1872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1488 ÷ 213
    1488 ÷ 8192     		x = 0.181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1872 ÷ 213
    1872 ÷ 8192     		y = 0.228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.181640625 × 2 - 1) × π
    -0.63671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.00031095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228515625 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00031095} λ = -2.00031095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70578663608008))-π/2
    2×atan(5.50571495823276)-π/2
    2×1.39112552190334-π/2
    2.78225104380667-1.57079632675     		φ = 1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00031095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1488 KachelY 1872 -2.00031095 1.21145472 -114.609375 69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 1489 KachelY 1872 -1.99954396 1.21145472 -114.565430 69.411243
    Unten links KachelX 1488 KachelY + 1 1873 -2.00031095 1.21118490 -114.609375 69.395783
    Unten rechts KachelX + 1 1489 KachelY + 1 1873 -1.99954396 1.21118490 -114.565430 69.395783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21145472-1.21118490) × R
    0.000269820000000198 × 6371000     		dl = 1719.02322000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21145472-1.21118490) × R
    0.000269820000000198 × 6371000     		dr = 1719.02322000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00031095--1.99954396) × cos(1.21145472) × R
    0.000766989999999801 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 1718.37430519931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00031095--1.99954396) × cos(1.21118490) × R
    0.000766989999999801 × 0.351910542261028 × 6371000     		du = 1719.60850343833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21145472)-sin(1.21118490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.351910542261028)×R²
    abs(-1.99954396--2.00031095)×0.000252573403006773×R²
    0.000766989999999801×0.000252573403006773×6371000²
    0.000766989999999801×0.000252573403006773×40589641000000     		ar = 2954986.15693161m²