Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14879 / 21223
↖ ↑ ↗
← S 46.852678°
W 16.534424°		 ← 835.45 m → S 46.852678°
W 16.523438°		 →
↑
835.37 m
↓
↑
835.37 m
↓
S 46.860191°
W 16.534424°		 ← 835.33 m →
697 858 m²		 S 46.860191°
W 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454086303710938 y=0.647689819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454086303710938 × 215)
    floor (0.454086303710938 × 32768)
    floor (14879.5)     		tx = 14879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647689819335938 × 215)
    floor (0.647689819335938 × 32768)
    floor (21223.5)     		ty = 21223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14879 / 21223 ti = "15/14879/21223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14879/21223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14879 ÷ 215
    14879 ÷ 32768     		x = 0.454071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21223 ÷ 215
    21223 ÷ 32768     		y = 0.647674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.09185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28858014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.29534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.927866629045807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28858014} λ = -0.28858014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927866629045807))-π/2
    2×atan(0.395396338296562)-π/2
    2×0.376531413999318-π/2
    0.753062827998636-1.57079632675     		φ = -0.81773350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28858014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.534424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81773350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.852678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14879 KachelY 21223 -0.28858014 -0.81773350 -16.534424 -46.852678
    Oben rechts KachelX + 1 14880 KachelY 21223 -0.28838839 -0.81773350 -16.523438 -46.852678
    Unten links KachelX 14879 KachelY + 1 21224 -0.28858014 -0.81786462 -16.534424 -46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 14880 KachelY + 1 21224 -0.28838839 -0.81786462 -16.523438 -46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81773350--0.81786462) × R
    0.00013112000000004 × 6371000     		dl = 835.365520000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81773350--0.81786462) × R
    0.00013112000000004 × 6371000     		dr = 835.365520000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28858014--0.28838839) × cos(-0.81773350) × R
    0.000191749999999991 × 0.683876595599884 × 6371000     		do = 835.450491341154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28858014--0.28838839) × cos(-0.81786462) × R
    0.000191749999999991 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 835.333616223847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81773350)-sin(-0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683876595599884-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.28838839--0.28858014)×9.56707287418368e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56707287418368e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56707287418368e-05×40589641000000     		ar = 697857.718412679m²