Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14878 / 21224
↖ ↑ ↗
← S 46.860191°
W 16.545410°		 ← 835.29 m → S 46.860191°
W 16.534424°		 →
↑
835.30 m
↓
↑
835.30 m
↓
S 46.867703°
W 16.545410°		 ← 835.17 m →
697 670 m²		 S 46.867703°
W 16.534424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454055786132812 y=0.647720336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454055786132812 × 215)
    floor (0.454055786132812 × 32768)
    floor (14878.5)     		tx = 14878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647720336914062 × 215)
    floor (0.647720336914062 × 32768)
    floor (21224.5)     		ty = 21224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14878 / 21224 ti = "15/14878/21224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14878/21224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14878 ÷ 215
    14878 ÷ 32768     		x = 0.45404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21224 ÷ 215
    21224 ÷ 32768     		y = 0.647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.0919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28877188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.29541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.928058376644287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28877188} λ = -0.28877188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928058376644287))-π/2
    2×atan(0.395320529266577)-π/2
    2×0.376465852738061-π/2
    0.752931705476123-1.57079632675     		φ = -0.81786462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28877188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81786462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.860191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14878 KachelY 21224 -0.28877188 -0.81786462 -16.545410 -46.860191
    Oben rechts KachelX + 1 14879 KachelY 21224 -0.28858014 -0.81786462 -16.534424 -46.860191
    Unten links KachelX 14878 KachelY + 1 21225 -0.28877188 -0.81799573 -16.545410 -46.867703
    Unten rechts KachelX + 1 14879 KachelY + 1 21225 -0.28858014 -0.81799573 -16.534424 -46.867703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81786462--0.81799573) × R
    0.00013110999999999 × 6371000     		dl = 835.301809999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81786462--0.81799573) × R
    0.00013110999999999 × 6371000     		dr = 835.301809999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28877188--0.28858014) × cos(-0.81786462) × R
    0.000191739999999996 × 0.683780924871142 × 6371000     		do = 835.290052541146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28877188--0.28858014) × cos(-0.81799573) × R
    0.000191739999999996 × 0.683685249684298 × 6371000     		du = 835.173178073112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81786462)-sin(-0.81799573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683780924871142-0.683685249684298)×R²
    abs(-0.28858014--0.28877188)×9.56751868441685e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56751868441685e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56751868441685e-05×40589641000000     		ar = 697670.481033953m²