Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14877 / 8949
↖ ↑ ↗
← N 62.970205°
W 16.556396°		 ← 555.18 m → N 62.970205°
W 16.545410°		 →
↑
555.23 m
↓
↑
555.23 m
↓
N 62.965212°
W 16.556396°		 ← 555.27 m →
308 280 m²		 N 62.965212°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454025268554688 y=0.273117065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454025268554688 × 215)
    floor (0.454025268554688 × 32768)
    floor (14877.5)     		tx = 14877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273117065429688 × 215)
    floor (0.273117065429688 × 32768)
    floor (8949.5)     		ty = 8949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14877 / 8949 ti = "15/14877/8949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14877/8949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14877 ÷ 215
    14877 ÷ 32768     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8949 ÷ 215
    8949 ÷ 32768     		y = 0.273101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273101806640625 × 2 - 1) × π
    0.45379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42564339470047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42564339470047))-π/2
    2×atan(4.16053384722858)-π/2
    2×1.33491686924432-π/2
    2.66983373848865-1.57079632675     		φ = 1.09903741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09903741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.970205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14877 KachelY 8949 -0.28896363 1.09903741 -16.556396 62.970205
    Oben rechts KachelX + 1 14878 KachelY 8949 -0.28877188 1.09903741 -16.545410 62.970205
    Unten links KachelX 14877 KachelY + 1 8950 -0.28896363 1.09895026 -16.556396 62.965212
    Unten rechts KachelX + 1 14878 KachelY + 1 8950 -0.28877188 1.09895026 -16.545410 62.965212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09903741-1.09895026) × R
    8.71499999999248e-05 × 6371000     		dl = 555.232649999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09903741-1.09895026) × R
    8.71499999999248e-05 × 6371000     		dr = 555.232649999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(1.09903741) × R
    0.000191750000000046 × 0.454453778439399 × 6371000     		do = 555.178573052507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(1.09895026) × R
    0.000191750000000046 × 0.454531407346886 × 6371000     		du = 555.273407572828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09903741)-sin(1.09895026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454453778439399-0.454531407346886)×R²
    abs(-0.28877188--0.28896363)×7.76289074867487e-05×R²
    0.000191750000000046×7.76289074867487e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.76289074867487e-05×40589641000000     		ar = 308279.59814465m²