Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14877 / 21269
↖ ↑ ↗
← S 47.197178°
W 16.556396°		 ← 830.08 m → S 47.197178°
W 16.545410°		 →
↑
830.01 m
↓
↑
830.01 m
↓
S 47.204642°
W 16.556396°		 ← 829.96 m →
688 926 m²		 S 47.204642°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454025268554688 y=0.649093627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454025268554688 × 215)
    floor (0.454025268554688 × 32768)
    floor (14877.5)     		tx = 14877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649093627929688 × 215)
    floor (0.649093627929688 × 32768)
    floor (21269.5)     		ty = 21269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14877 / 21269 ti = "15/14877/21269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14877/21269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14877 ÷ 215
    14877 ÷ 32768     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21269 ÷ 215
    21269 ÷ 32768     		y = 0.649078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.29815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.936687018575897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936687018575897))-π/2
    2×atan(0.391924124225615)-π/2
    2×0.373525086952882-π/2
    0.747050173905763-1.57079632675     		φ = -0.82374615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82374615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.197178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14877 KachelY 21269 -0.28896363 -0.82374615 -16.556396 -47.197178
    Oben rechts KachelX + 1 14878 KachelY 21269 -0.28877188 -0.82374615 -16.545410 -47.197178
    Unten links KachelX 14877 KachelY + 1 21270 -0.28896363 -0.82387643 -16.556396 -47.204642
    Unten rechts KachelX + 1 14878 KachelY + 1 21270 -0.28877188 -0.82387643 -16.545410 -47.204642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82374615--0.82387643) × R
    0.000130280000000038 × 6371000     		dl = 830.013880000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82374615--0.82387643) × R
    0.000130280000000038 × 6371000     		dr = 830.013880000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(-0.82374615) × R
    0.000191750000000046 × 0.679477444726139 × 6371000     		do = 830.076315967356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(-0.82387643) × R
    0.000191750000000046 × 0.679381852993541 × 6371000     		du = 829.959537354839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82374615)-sin(-0.82387643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679477444726139-0.679381852993541)×R²
    abs(-0.28877188--0.28896363)×9.55917325982103e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55917325982103e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55917325982103e-05×40589641000000     		ar = 688926.400752034m²