Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14877 / 21227
↖ ↑ ↗
← S 46.882723°
W 16.556396°		 ← 834.98 m → S 46.882723°
W 16.545410°		 →
↑
834.92 m
↓
↑
834.92 m
↓
S 46.890232°
W 16.556396°		 ← 834.87 m →
697 095 m²		 S 46.890232°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454025268554688 y=0.647811889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454025268554688 × 215)
    floor (0.454025268554688 × 32768)
    floor (14877.5)     		tx = 14877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647811889648438 × 215)
    floor (0.647811889648438 × 32768)
    floor (21227.5)     		ty = 21227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14877 / 21227 ti = "15/14877/21227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14877/21227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14877 ÷ 215
    14877 ÷ 32768     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21227 ÷ 215
    21227 ÷ 32768     		y = 0.647796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.29559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.928633619439728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928633619439728))-π/2
    2×atan(0.395093189374313)-π/2
    2×0.376269223988152-π/2
    0.752538447976304-1.57079632675     		φ = -0.81825788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81825788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.882723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14877 KachelY 21227 -0.28896363 -0.81825788 -16.556396 -46.882723
    Oben rechts KachelX + 1 14878 KachelY 21227 -0.28877188 -0.81825788 -16.545410 -46.882723
    Unten links KachelX 14877 KachelY + 1 21228 -0.28896363 -0.81838893 -16.556396 -46.890232
    Unten rechts KachelX + 1 14878 KachelY + 1 21228 -0.28877188 -0.81838893 -16.545410 -46.890232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81825788--0.81838893) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dl = 834.919550000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81825788--0.81838893) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dr = 834.919550000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(-0.81825788) × R
    0.000191750000000046 × 0.683493915151887 × 6371000     		do = 834.982993885915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(-0.81838893) × R
    0.000191750000000046 × 0.683398248521694 × 6371000     		du = 834.866123775556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81825788)-sin(-0.81838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683493915151887-0.683398248521694)×R²
    abs(-0.28877188--0.28896363)×9.56666301930031e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56666301930031e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56666301930031e-05×40589641000000     		ar = 697094.837941104m²