Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14877 / 20441
↖ ↑ ↗
← S 40.655639°
W 16.556396°		 ← 926.78 m → S 40.655639°
W 16.545410°		 →
↑
926.66 m
↓
↑
926.66 m
↓
S 40.663973°
W 16.556396°		 ← 926.67 m →
858 761 m²		 S 40.663973°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454025268554688 y=0.623825073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454025268554688 × 215)
    floor (0.454025268554688 × 32768)
    floor (14877.5)     		tx = 14877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623825073242188 × 215)
    floor (0.623825073242188 × 32768)
    floor (20441.5)     		ty = 20441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14877 / 20441 ti = "15/14877/20441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14877/20441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14877 ÷ 215
    14877 ÷ 32768     		x = 0.454010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20441 ÷ 215
    20441 ÷ 32768     		y = 0.623809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.09197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28896363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.24761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.777920007034271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28896363} λ = -0.28896363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777920007034271))-π/2
    2×atan(0.459360484889239)-π/2
    2×0.430610785648169-π/2
    0.861221571296338-1.57079632675     		φ = -0.70957476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28896363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.556396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70957476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.655639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14877 KachelY 20441 -0.28896363 -0.70957476 -16.556396 -40.655639
    Oben rechts KachelX + 1 14878 KachelY 20441 -0.28877188 -0.70957476 -16.545410 -40.655639
    Unten links KachelX 14877 KachelY + 1 20442 -0.28896363 -0.70972021 -16.556396 -40.663973
    Unten rechts KachelX + 1 14878 KachelY + 1 20442 -0.28877188 -0.70972021 -16.545410 -40.663973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70957476--0.70972021) × R
    0.000145449999999991 × 6371000     		dl = 926.661949999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70957476--0.70972021) × R
    0.000145449999999991 × 6371000     		dr = 926.661949999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(-0.70957476) × R
    0.000191750000000046 × 0.758638993208013 × 6371000     		do = 926.783170683614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28896363--0.28877188) × cos(-0.70972021) × R
    0.000191750000000046 × 0.758544222875712 × 6371000     		du = 926.667395525941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70957476)-sin(-0.70972021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758638993208013-0.758544222875712)×R²
    abs(-0.28877188--0.28896363)×9.47703323004312e-05×R²
    0.000191750000000046×9.47703323004312e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.47703323004312e-05×40589641000000     		ar = 858761.059470023m²