Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14876 / 8956
↖ ↑ ↗
← N 62.935235°
W 16.567383°		 ← 555.84 m → N 62.935235°
W 16.556396°		 →
↑
555.87 m
↓
↑
555.87 m
↓
N 62.930236°
W 16.567383°		 ← 555.94 m →
309 002 m²		 N 62.930236°
W 16.556396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453994750976562 y=0.273330688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453994750976562 × 215)
    floor (0.453994750976562 × 32768)
    floor (14876.5)     		tx = 14876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273330688476562 × 215)
    floor (0.273330688476562 × 32768)
    floor (8956.5)     		ty = 8956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14876 / 8956 ti = "15/14876/8956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14876/8956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14876 ÷ 215
    14876 ÷ 32768     		x = 0.4539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8956 ÷ 215
    8956 ÷ 32768     		y = 0.2733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2733154296875 × 2 - 1) × π
    0.453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42430116151111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28915538} λ = -0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42430116151111))-π/2
    2×atan(4.15495318672508)-π/2
    2×1.33461169539219-π/2
    2.66922339078437-1.57079632675     		φ = 1.09842706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09842706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.935235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14876 KachelY 8956 -0.28915538 1.09842706 -16.567383 62.935235
    Oben rechts KachelX + 1 14877 KachelY 8956 -0.28896363 1.09842706 -16.556396 62.935235
    Unten links KachelX 14876 KachelY + 1 8957 -0.28915538 1.09833981 -16.567383 62.930236
    Unten rechts KachelX + 1 14877 KachelY + 1 8957 -0.28896363 1.09833981 -16.556396 62.930236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09842706-1.09833981) × R
    8.72499999999832e-05 × 6371000     		dl = 555.869749999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09842706-1.09833981) × R
    8.72499999999832e-05 × 6371000     		dr = 555.869749999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28915538--0.28896363) × cos(1.09842706) × R
    0.000191749999999991 × 0.454997375422371 × 6371000     		do = 555.842652462926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28915538--0.28896363) × cos(1.09833981) × R
    0.000191749999999991 × 0.455075069185339 × 6371000     		du = 555.937566213248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09842706)-sin(1.09833981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454997375422371-0.455075069185339)×R²
    abs(-0.28896363--0.28915538)×7.76937629676233e-05×R²
    0.000191749999999991×7.76937629676233e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.76937629676233e-05×40589641000000     		ar = 309002.496300739m²