Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14876 / 20438
↖ ↑ ↗
← S 40.630630°
W 16.567383°		 ← 927.13 m → S 40.630630°
W 16.556396°		 →
↑
927.04 m
↓
↑
927.04 m
↓
S 40.638967°
W 16.567383°		 ← 927.01 m →
859 437 m²		 S 40.638967°
W 16.556396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453994750976562 y=0.623733520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453994750976562 × 215)
    floor (0.453994750976562 × 32768)
    floor (14876.5)     		tx = 14876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623733520507812 × 215)
    floor (0.623733520507812 × 32768)
    floor (20438.5)     		ty = 20438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14876 / 20438 ti = "15/14876/20438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14876/20438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14876 ÷ 215
    14876 ÷ 32768     		x = 0.4539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20438 ÷ 215
    20438 ÷ 32768     		y = 0.62371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.2474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777344764238831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28915538} λ = -0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777344764238831))-π/2
    2×atan(0.459624804715431)-π/2
    2×0.430829027343121-π/2
    0.861658054686241-1.57079632675     		φ = -0.70913827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70913827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.630630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14876 KachelY 20438 -0.28915538 -0.70913827 -16.567383 -40.630630
    Oben rechts KachelX + 1 14877 KachelY 20438 -0.28896363 -0.70913827 -16.556396 -40.630630
    Unten links KachelX 14876 KachelY + 1 20439 -0.28915538 -0.70928378 -16.567383 -40.638967
    Unten rechts KachelX + 1 14877 KachelY + 1 20439 -0.28896363 -0.70928378 -16.556396 -40.638967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70913827--0.70928378) × R
    0.000145510000000071 × 6371000     		dl = 927.044210000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70913827--0.70928378) × R
    0.000145510000000071 × 6371000     		dr = 927.044210000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28915538--0.28896363) × cos(-0.70913827) × R
    0.000191749999999991 × 0.758923299064862 × 6371000     		do = 927.130489877078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28915538--0.28896363) × cos(-0.70928378) × R
    0.000191749999999991 × 0.758828537825225 × 6371000     		du = 927.014725827359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70913827)-sin(-0.70928378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758923299064862-0.758828537825225)×R²
    abs(-0.28896363--0.28915538)×9.47612396372532e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47612396372532e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47612396372532e-05×40589641000000     		ar = 859437.29487534m²