Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14875 / 21214
↖ ↑ ↗
← S 46.785016°
W 16.578369°		 ← 836.50 m → S 46.785016°
W 16.567383°		 →
↑
836.45 m
↓
↑
836.45 m
↓
S 46.792538°
W 16.578369°		 ← 836.39 m →
699 642 m²		 S 46.792538°
W 16.567383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453964233398438 y=0.647415161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453964233398438 × 215)
    floor (0.453964233398438 × 32768)
    floor (14875.5)     		tx = 14875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647415161132812 × 215)
    floor (0.647415161132812 × 32768)
    floor (21214.5)     		ty = 21214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14875 / 21214 ti = "15/14875/21214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14875/21214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14875 ÷ 215
    14875 ÷ 32768     		x = 0.453948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21214 ÷ 215
    21214 ÷ 32768     		y = 0.64739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453948974609375 × 2 - 1) × π
    -0.09210205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28934713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.926140900659485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28934713} λ = -0.28934713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926140900659485))-π/2
    2×atan(0.396079274092763)-π/2
    2×0.377121878134835-π/2
    0.754243756269669-1.57079632675     		φ = -0.81655257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28934713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.578369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81655257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.785016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14875 KachelY 21214 -0.28934713 -0.81655257 -16.578369 -46.785016
    Oben rechts KachelX + 1 14876 KachelY 21214 -0.28915538 -0.81655257 -16.567383 -46.785016
    Unten links KachelX 14875 KachelY + 1 21215 -0.28934713 -0.81668386 -16.578369 -46.792538
    Unten rechts KachelX + 1 14876 KachelY + 1 21215 -0.28915538 -0.81668386 -16.567383 -46.792538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81655257--0.81668386) × R
    0.000131290000000006 × 6371000     		dl = 836.448590000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81655257--0.81668386) × R
    0.000131290000000006 × 6371000     		dr = 836.448590000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28934713--0.28915538) × cos(-0.81655257) × R
    0.000191749999999991 × 0.684737722344366 × 6371000     		do = 836.502477571439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28934713--0.28915538) × cos(-0.81668386) × R
    0.000191749999999991 × 0.684642033659278 × 6371000     		du = 836.385580517954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81655257)-sin(-0.81668386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684737722344366-0.684642033659278)×R²
    abs(-0.28915538--0.28934713)×9.56886850886907e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56886850886907e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56886850886907e-05×40589641000000     		ar = 699642.429713632m²