Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14874 / 21290
↖ ↑ ↗
← S 47.353710°
W 16.589355°		 ← 827.58 m → S 47.353710°
W 16.578369°		 →
↑
827.59 m
↓
↑
827.59 m
↓
S 47.361153°
W 16.589355°		 ← 827.46 m →
684 852 m²		 S 47.361153°
W 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453933715820312 y=0.649734497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453933715820312 × 215)
    floor (0.453933715820312 × 32768)
    floor (14874.5)     		tx = 14874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649734497070312 × 215)
    floor (0.649734497070312 × 32768)
    floor (21290.5)     		ty = 21290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14874 / 21290 ti = "15/14874/21290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14874/21290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14874 ÷ 215
    14874 ÷ 32768     		x = 0.45391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21290 ÷ 215
    21290 ÷ 32768     		y = 0.64971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2994384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940713718143982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28953887} λ = -0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940713718143982))-π/2
    2×atan(0.390349136652873)-π/2
    2×0.372159081732998-π/2
    0.744318163465996-1.57079632675     		φ = -0.82647816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82647816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.353710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14874 KachelY 21290 -0.28953887 -0.82647816 -16.589355 -47.353710
    Oben rechts KachelX + 1 14875 KachelY 21290 -0.28934713 -0.82647816 -16.578369 -47.353710
    Unten links KachelX 14874 KachelY + 1 21291 -0.28953887 -0.82660806 -16.589355 -47.361153
    Unten rechts KachelX + 1 14875 KachelY + 1 21291 -0.28934713 -0.82660806 -16.578369 -47.361153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82647816--0.82660806) × R
    0.000129900000000016 × 6371000     		dl = 827.592900000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82647816--0.82660806) × R
    0.000129900000000016 × 6371000     		dr = 827.592900000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28953887--0.28934713) × cos(-0.82647816) × R
    0.000191739999999996 × 0.677470445560675 × 6371000     		do = 827.581325369804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28953887--0.28934713) × cos(-0.82660806) × R
    0.000191739999999996 × 0.67737489190075 × 6371000     		du = 827.464599356082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82647816)-sin(-0.82660806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677470445560675-0.67737489190075)×R²
    abs(-0.28934713--0.28953887)×9.5553659925196e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5553659925196e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5553659925196e-05×40589641000000     		ar = 684852.129201109m²