Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14874 / 20522
↖ ↑ ↗
← S 41.327327°
W 16.589355°		 ← 917.34 m → S 41.327327°
W 16.578369°		 →
↑
917.30 m
↓
↑
917.30 m
↓
S 41.335576°
W 16.589355°		 ← 917.23 m →
841 421 m²		 S 41.335576°
W 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453933715820312 y=0.626296997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453933715820312 × 215)
    floor (0.453933715820312 × 32768)
    floor (14874.5)     		tx = 14874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626296997070312 × 215)
    floor (0.626296997070312 × 32768)
    floor (20522.5)     		ty = 20522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14874 / 20522 ti = "15/14874/20522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14874/20522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14874 ÷ 215
    14874 ÷ 32768     		x = 0.45391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20522 ÷ 215
    20522 ÷ 32768     		y = 0.62628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.2525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793451562511169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28953887} λ = -0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793451562511169))-π/2
    2×atan(0.452281021884361)-π/2
    2×0.424749205737712-π/2
    0.849498411475424-1.57079632675     		φ = -0.72129792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72129792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.327327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14874 KachelY 20522 -0.28953887 -0.72129792 -16.589355 -41.327327
    Oben rechts KachelX + 1 14875 KachelY 20522 -0.28934713 -0.72129792 -16.578369 -41.327327
    Unten links KachelX 14874 KachelY + 1 20523 -0.28953887 -0.72144190 -16.589355 -41.335576
    Unten rechts KachelX + 1 14875 KachelY + 1 20523 -0.28934713 -0.72144190 -16.578369 -41.335576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72129792--0.72144190) × R
    0.000143979999999932 × 6371000     		dl = 917.29657999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72129792--0.72144190) × R
    0.000143979999999932 × 6371000     		dr = 917.29657999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28953887--0.28934713) × cos(-0.72129792) × R
    0.000191739999999996 × 0.750949267583241 × 6371000     		do = 917.341257060583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28953887--0.28934713) × cos(-0.72144190) × R
    0.000191739999999996 × 0.75085418118149 × 6371000     		du = 917.225101838016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72129792)-sin(-0.72144190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750949267583241-0.75085418118149)×R²
    abs(-0.28934713--0.28953887)×9.50864017514874e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50864017514874e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50864017514874e-05×40589641000000     		ar = 841420.724854046m²