Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14873 / 21226
↖ ↑ ↗
← S 46.875213°
W 16.600342°		 ← 835.10 m → S 46.875213°
W 16.589355°		 →
↑
835.05 m
↓
↑
835.05 m
↓
S 46.882723°
W 16.600342°		 ← 834.98 m →
697 299 m²		 S 46.882723°
W 16.589355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453903198242188 y=0.647781372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453903198242188 × 215)
    floor (0.453903198242188 × 32768)
    floor (14873.5)     		tx = 14873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647781372070312 × 215)
    floor (0.647781372070312 × 32768)
    floor (21226.5)     		ty = 21226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14873 / 21226 ti = "15/14873/21226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14873/21226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14873 ÷ 215
    14873 ÷ 32768     		x = 0.453887939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21226 ÷ 215
    21226 ÷ 32768     		y = 0.64776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453887939453125 × 2 - 1) × π
    -0.09222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28973062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.2955322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.928441871841248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28973062} λ = -0.28973062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928441871841248))-π/2
    2×atan(0.39516895480824)-π/2
    2×0.376334757732635-π/2
    0.752669515465271-1.57079632675     		φ = -0.81812681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28973062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.600342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81812681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.875213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14873 KachelY 21226 -0.28973062 -0.81812681 -16.600342 -46.875213
    Oben rechts KachelX + 1 14874 KachelY 21226 -0.28953887 -0.81812681 -16.589355 -46.875213
    Unten links KachelX 14873 KachelY + 1 21227 -0.28973062 -0.81825788 -16.600342 -46.882723
    Unten rechts KachelX + 1 14874 KachelY + 1 21227 -0.28953887 -0.81825788 -16.589355 -46.882723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81812681--0.81825788) × R
    0.000131070000000011 × 6371000     		dl = 835.046970000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81812681--0.81825788) × R
    0.000131070000000011 × 6371000     		dr = 835.046970000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28973062--0.28953887) × cos(-0.81812681) × R
    0.000191749999999991 × 0.683589584641018 × 6371000     		do = 835.099867488623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28973062--0.28953887) × cos(-0.81825788) × R
    0.000191749999999991 × 0.683493915151887 × 6371000     		du = 834.982993885673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81812681)-sin(-0.81825788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683589584641018-0.683493915151887)×R²
    abs(-0.28953887--0.28973062)×9.56694891310894e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56694891310894e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56694891310894e-05×40589641000000     		ar = 697298.81751798m²