Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14873 / 10731
↖ ↑ ↗
← N 76.212515°
W 98.300171°		 ← 145.58 m → N 76.212515°
W 98.294678°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
N 76.211205°
W 98.300171°		 ← 145.59 m →
21 194 m²		 N 76.211205°
W 98.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226951599121094 y=0.163749694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226951599121094 × 216)
    floor (0.226951599121094 × 65536)
    floor (14873.5)     		tx = 14873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163749694824219 × 216)
    floor (0.163749694824219 × 65536)
    floor (10731.5)     		ty = 10731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14873 / 10731 ti = "16/14873/10731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14873/10731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14873 ÷ 216
    14873 ÷ 65536     		x = 0.226943969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10731 ÷ 216
    10731 ÷ 65536     		y = 0.163742065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226943969726562 × 2 - 1) × π
    -0.546112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71566164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163742065429688 × 2 - 1) × π
    0.672515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11277091385436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71566164} λ = -1.71566164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11277091385436))-π/2
    2×atan(8.27112814479155)-π/2
    2×1.45047781590464-π/2
    2.90095563180928-1.57079632675     		φ = 1.33015931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71566164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33015931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.212515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14873 KachelY 10731 -1.71566164 1.33015931 -98.300171 76.212515
    Oben rechts KachelX + 1 14874 KachelY 10731 -1.71556576 1.33015931 -98.294678 76.212515
    Unten links KachelX 14873 KachelY + 1 10732 -1.71566164 1.33013646 -98.300171 76.211205
    Unten rechts KachelX + 1 14874 KachelY + 1 10732 -1.71556576 1.33013646 -98.294678 76.211205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33015931-1.33013646) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dl = 145.577349999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33015931-1.33013646) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dr = 145.577349999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71566164--1.71556576) × cos(1.33015931) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238321336760069 × 6371000     		do = 145.578941275371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71566164--1.71556576) × cos(1.33013646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238343528306112 × 6371000     		du = 145.592497014115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33015931)-sin(1.33013646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238321336760069-0.238343528306112)×R²
    abs(-1.71556576--1.71566164)×2.2191546043937e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.2191546043937e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.2191546043937e-05×40589641000000     		ar = 21193.9831919611m²