Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14872 / 6841
↖ ↑ ↗
← N 71.770505°
W 16.611328°		 ← 382.16 m → N 71.770505°
W 16.600342°		 →
↑
382.20 m
↓
↑
382.20 m
↓
N 71.767067°
W 16.611328°		 ← 382.23 m →
146 073 m²		 N 71.767067°
W 16.600342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453872680664062 y=0.208786010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453872680664062 × 215)
    floor (0.453872680664062 × 32768)
    floor (14872.5)     		tx = 14872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208786010742188 × 215)
    floor (0.208786010742188 × 32768)
    floor (6841.5)     		ty = 6841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14872 / 6841 ti = "15/14872/6841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14872/6841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14872 ÷ 215
    14872 ÷ 32768     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6841 ÷ 215
    6841 ÷ 32768     		y = 0.208770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208770751953125 × 2 - 1) × π
    0.58245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82984733229678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82984733229678))-π/2
    2×atan(6.23293501801068)-π/2
    2×1.41171396861196-π/2
    2.82342793722393-1.57079632675     		φ = 1.25263161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25263161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.770505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14872 KachelY 6841 -0.28992237 1.25263161 -16.611328 71.770505
    Oben rechts KachelX + 1 14873 KachelY 6841 -0.28973062 1.25263161 -16.600342 71.770505
    Unten links KachelX 14872 KachelY + 1 6842 -0.28992237 1.25257162 -16.611328 71.767067
    Unten rechts KachelX + 1 14873 KachelY + 1 6842 -0.28973062 1.25257162 -16.600342 71.767067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25263161-1.25257162) × R
    5.99899999997877e-05 × 6371000     		dl = 382.196289998648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25263161-1.25257162) × R
    5.99899999997877e-05 × 6371000     		dr = 382.196289998648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28973062) × cos(1.25263161) × R
    0.000191749999999991 × 0.312823916002074 × 6371000     		do = 382.157974126818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28973062) × cos(1.25257162) × R
    0.000191749999999991 × 0.312880894609304 × 6371000     		du = 382.22758142982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25263161)-sin(1.25257162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312823916002074-0.312880894609304)×R²
    abs(-0.28973062--0.28992237)×5.69786072296963e-05×R²
    0.000191749999999991×5.69786072296963e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.69786072296963e-05×40589641000000     		ar = 146072.66177463m²