Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14872 / 11353
↖ ↑ ↗
← N 48.275881°
W 16.611328°		 ← 813.06 m → N 48.275881°
W 16.600342°		 →
↑
813.07 m
↓
↑
813.07 m
↓
N 48.268569°
W 16.611328°		 ← 813.17 m →
661 116 m²		 N 48.268569°
W 16.600342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453872680664062 y=0.346481323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453872680664062 × 215)
    floor (0.453872680664062 × 32768)
    floor (14872.5)     		tx = 14872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346481323242188 × 215)
    floor (0.346481323242188 × 32768)
    floor (11353.5)     		ty = 11353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14872 / 11353 ti = "15/14872/11353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14872/11353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14872 ÷ 215
    14872 ÷ 32768     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11353 ÷ 215
    11353 ÷ 32768     		y = 0.346466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346466064453125 × 2 - 1) × π
    0.30706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.96468216795401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96468216795401))-π/2
    2×atan(2.62395354740375)-π/2
    2×1.2066847043665-π/2
    2.413369408733-1.57079632675     		φ = 0.84257308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84257308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.275881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14872 KachelY 11353 -0.28992237 0.84257308 -16.611328 48.275881
    Oben rechts KachelX + 1 14873 KachelY 11353 -0.28973062 0.84257308 -16.600342 48.275881
    Unten links KachelX 14872 KachelY + 1 11354 -0.28992237 0.84244546 -16.611328 48.268569
    Unten rechts KachelX + 1 14873 KachelY + 1 11354 -0.28973062 0.84244546 -16.600342 48.268569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84257308-0.84244546) × R
    0.000127619999999995 × 6371000     		dl = 813.067019999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84257308-0.84244546) × R
    0.000127619999999995 × 6371000     		dr = 813.067019999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28973062) × cos(0.84257308) × R
    0.000191749999999991 × 0.6655445920885 × 6371000     		do = 813.055396320511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28973062) × cos(0.84244546) × R
    0.000191749999999991 × 0.665639836887651 × 6371000     		du = 813.171751105512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84257308)-sin(0.84244546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6655445920885-0.665639836887651)×R²
    abs(-0.28973062--0.28992237)×9.52447991505734e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52447991505734e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52447991505734e-05×40589641000000     		ar = 661115.831197454m²