Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14871 / 6839
↖ ↑ ↗
← N 71.777377°
W 16.622315°		 ← 382.02 m → N 71.777377°
W 16.611328°		 →
↑
382.07 m
↓
↑
382.07 m
↓
N 71.773941°
W 16.622315°		 ← 382.09 m →
145 971 m²		 N 71.773941°
W 16.611328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453842163085938 y=0.208724975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453842163085938 × 215)
    floor (0.453842163085938 × 32768)
    floor (14871.5)     		tx = 14871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208724975585938 × 215)
    floor (0.208724975585938 × 32768)
    floor (6839.5)     		ty = 6839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14871 / 6839 ti = "15/14871/6839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14871/6839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14871 ÷ 215
    14871 ÷ 32768     		x = 0.453826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6839 ÷ 215
    6839 ÷ 32768     		y = 0.208709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29011412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208709716796875 × 2 - 1) × π
    0.58258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83023082749374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29011412} λ = -0.29011412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83023082749374))-π/2
    2×atan(6.23532577704606)-π/2
    2×1.41177394092332-π/2
    2.82354788184665-1.57079632675     		φ = 1.25275156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29011412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.622315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25275156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.777377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14871 KachelY 6839 -0.29011412 1.25275156 -16.622315 71.777377
    Oben rechts KachelX + 1 14872 KachelY 6839 -0.28992237 1.25275156 -16.611328 71.777377
    Unten links KachelX 14871 KachelY + 1 6840 -0.29011412 1.25269159 -16.622315 71.773941
    Unten rechts KachelX + 1 14872 KachelY + 1 6840 -0.28992237 1.25269159 -16.611328 71.773941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25275156-1.25269159) × R
    5.99700000001313e-05 × 6371000     		dl = 382.068870000837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25275156-1.25269159) × R
    5.99700000001313e-05 × 6371000     		dr = 382.068870000837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29011412--0.28992237) × cos(1.25275156) × R
    0.000191749999999991 × 0.312709983905907 × 6371000     		do = 382.018790206305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29011412--0.28992237) × cos(1.25269159) × R
    0.000191749999999991 × 0.312766945767353 × 6371000     		du = 382.088377052001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25275156)-sin(1.25269159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312709983905907-0.312766945767353)×R²
    abs(-0.28992237--0.29011412)×5.69618614456591e-05×R²
    0.000191749999999991×5.69618614456591e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.69618614456591e-05×40589641000000     		ar = 145970.781020452m²