Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14870 / 21218
↖ ↑ ↗
← S 46.815099°
W 16.633301°		 ← 835.99 m → S 46.815099°
W 16.622315°		 →
↑
836 m
↓
↑
836 m
↓
S 46.822617°
W 16.633301°		 ← 835.87 m →
698 842 m²		 S 46.822617°
W 16.622315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453811645507812 y=0.647537231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453811645507812 × 215)
    floor (0.453811645507812 × 32768)
    floor (14870.5)     		tx = 14870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647537231445312 × 215)
    floor (0.647537231445312 × 32768)
    floor (21218.5)     		ty = 21218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14870 / 21218 ti = "15/14870/21218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14870/21218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14870 ÷ 215
    14870 ÷ 32768     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21218 ÷ 215
    21218 ÷ 32768     		y = 0.64752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.2950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.926907891053406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926907891053406))-π/2
    2×atan(0.395775601566145)-π/2
    2×0.37685935789726-π/2
    0.75371871579452-1.57079632675     		φ = -0.81707761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81707761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.815099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14870 KachelY 21218 -0.29030586 -0.81707761 -16.633301 -46.815099
    Oben rechts KachelX + 1 14871 KachelY 21218 -0.29011412 -0.81707761 -16.622315 -46.815099
    Unten links KachelX 14870 KachelY + 1 21219 -0.29030586 -0.81720883 -16.633301 -46.822617
    Unten rechts KachelX + 1 14871 KachelY + 1 21219 -0.29011412 -0.81720883 -16.622315 -46.822617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81707761--0.81720883) × R
    0.000131219999999987 × 6371000     		dl = 836.00261999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81707761--0.81720883) × R
    0.000131219999999987 × 6371000     		dr = 836.00261999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.29011412) × cos(-0.81707761) × R
    0.000191740000000051 × 0.684354984301183 × 6371000     		do = 835.991309499633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.29011412) × cos(-0.81720883) × R
    0.000191740000000051 × 0.684259299478616 × 6371000     		du = 835.874423260836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81707761)-sin(-0.81720883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684354984301183-0.684259299478616)×R²
    abs(-0.29011412--0.29030586)×9.56848225667217e-05×R²
    0.000191740000000051×9.56848225667217e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.56848225667217e-05×40589641000000     		ar = 698842.067440709m²