Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14869 / 21221
↖ ↑ ↗
← S 46.837650°
W 16.644287°		 ← 835.68 m → S 46.837650°
W 16.633301°		 →
↑
835.62 m
↓
↑
835.62 m
↓
S 46.845165°
W 16.644287°		 ← 835.57 m →
698 266 m²		 S 46.845165°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453781127929688 y=0.647628784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453781127929688 × 215)
    floor (0.453781127929688 × 32768)
    floor (14869.5)     		tx = 14869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647628784179688 × 215)
    floor (0.647628784179688 × 32768)
    floor (21221.5)     		ty = 21221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14869 / 21221 ti = "15/14869/21221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14869/21221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14869 ÷ 215
    14869 ÷ 32768     		x = 0.453765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21221 ÷ 215
    21221 ÷ 32768     		y = 0.647613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.09246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29049761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.29522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.927483133848846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29049761} λ = -0.29049761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927483133848846))-π/2
    2×atan(0.395547999972097)-π/2
    2×0.376662564039698-π/2
    0.753325128079396-1.57079632675     		φ = -0.81747120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29049761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.644287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81747120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.837650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14869 KachelY 21221 -0.29049761 -0.81747120 -16.644287 -46.837650
    Oben rechts KachelX + 1 14870 KachelY 21221 -0.29030586 -0.81747120 -16.633301 -46.837650
    Unten links KachelX 14869 KachelY + 1 21222 -0.29049761 -0.81760236 -16.644287 -46.845165
    Unten rechts KachelX + 1 14870 KachelY + 1 21222 -0.29030586 -0.81760236 -16.633301 -46.845165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81747120--0.81760236) × R
    0.000131160000000019 × 6371000     		dl = 835.620360000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81747120--0.81760236) × R
    0.000131160000000019 × 6371000     		dr = 835.620360000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29049761--0.29030586) × cos(-0.81747120) × R
    0.000191749999999991 × 0.68406794554827 × 6371000     		do = 835.684251948588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29049761--0.29030586) × cos(-0.81760236) × R
    0.000191749999999991 × 0.683972269161269 × 6371000     		du = 835.567369918929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81747120)-sin(-0.81760236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68406794554827-0.683972269161269)×R²
    abs(-0.29030586--0.29049761)×9.56763870013644e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56763870013644e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56763870013644e-05×40589641000000     		ar = 698265.941958751m²