Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14868 / 6826
↖ ↑ ↗
← N 71.821986°
W 16.655273°		 ← 381.12 m → N 71.821986°
W 16.644287°		 →
↑
381.11 m
↓
↑
381.11 m
↓
N 71.818559°
W 16.655273°		 ← 381.18 m →
145 261 m²		 N 71.818559°
W 16.644287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453750610351562 y=0.208328247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453750610351562 × 215)
    floor (0.453750610351562 × 32768)
    floor (14868.5)     		tx = 14868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208328247070312 × 215)
    floor (0.208328247070312 × 32768)
    floor (6826.5)     		ty = 6826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14868 / 6826 ti = "15/14868/6826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14868/6826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14868 ÷ 215
    14868 ÷ 32768     		x = 0.4537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6826 ÷ 215
    6826 ÷ 32768     		y = 0.20831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20831298828125 × 2 - 1) × π
    0.5833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83272354627399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29068936} λ = -0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83272354627399))-π/2
    2×atan(6.25088807887423)-π/2
    2×1.41216322887312-π/2
    2.82432645774624-1.57079632675     		φ = 1.25353013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25353013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.821986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14868 KachelY 6826 -0.29068936 1.25353013 -16.655273 71.821986
    Oben rechts KachelX + 1 14869 KachelY 6826 -0.29049761 1.25353013 -16.644287 71.821986
    Unten links KachelX 14868 KachelY + 1 6827 -0.29068936 1.25347031 -16.655273 71.818559
    Unten rechts KachelX + 1 14869 KachelY + 1 6827 -0.29049761 1.25347031 -16.644287 71.818559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25353013-1.25347031) × R
    5.98199999999327e-05 × 6371000     		dl = 381.113219999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25353013-1.25347031) × R
    5.98199999999327e-05 × 6371000     		dr = 381.113219999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29068936--0.29049761) × cos(1.25353013) × R
    0.000191749999999991 × 0.311970365535992 × 6371000     		do = 381.115243375596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29068936--0.29049761) × cos(1.25347031) × R
    0.000191749999999991 × 0.312027199471222 × 6371000     		du = 381.184673941605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25353013)-sin(1.25347031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311970365535992-0.312027199471222)×R²
    abs(-0.29049761--0.29068936)×5.6833935230316e-05×R²
    0.000191749999999991×5.6833935230316e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.6833935230316e-05×40589641000000     		ar = 145261.288090822m²