Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14868 / 21501
↖ ↑ ↗
← S 48.900838°
W 16.655273°		 ← 803.06 m → S 48.900838°
W 16.644287°		 →
↑
803 m
↓
↑
803 m
↓
S 48.908060°
W 16.655273°		 ← 802.95 m →
644 813 m²		 S 48.908060°
W 16.644287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453750610351562 y=0.656173706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453750610351562 × 215)
    floor (0.453750610351562 × 32768)
    floor (14868.5)     		tx = 14868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656173706054688 × 215)
    floor (0.656173706054688 × 32768)
    floor (21501.5)     		ty = 21501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14868 / 21501 ti = "15/14868/21501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14868/21501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14868 ÷ 215
    14868 ÷ 32768     		x = 0.4537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21501 ÷ 215
    21501 ÷ 32768     		y = 0.656158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.981172461423309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29068936} λ = -0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.981172461423309))-π/2
    2×atan(0.374871318929132)-π/2
    2×0.358657849216723-π/2
    0.717315698433446-1.57079632675     		φ = -0.85348063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85348063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.900838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14868 KachelY 21501 -0.29068936 -0.85348063 -16.655273 -48.900838
    Oben rechts KachelX + 1 14869 KachelY 21501 -0.29049761 -0.85348063 -16.644287 -48.900838
    Unten links KachelX 14868 KachelY + 1 21502 -0.29068936 -0.85360667 -16.655273 -48.908060
    Unten rechts KachelX + 1 14869 KachelY + 1 21502 -0.29049761 -0.85360667 -16.644287 -48.908060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85348063--0.85360667) × R
    0.000126040000000049 × 6371000     		dl = 803.000840000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85348063--0.85360667) × R
    0.000126040000000049 × 6371000     		dr = 803.000840000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29068936--0.29049761) × cos(-0.85348063) × R
    0.000191749999999991 × 0.657364224275333 × 6371000     		do = 803.06193792051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29068936--0.29049761) × cos(-0.85360667) × R
    0.000191749999999991 × 0.657269238712331 × 6371000     		du = 802.945899828563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85348063)-sin(-0.85360667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657364224275333-0.657269238712331)×R²
    abs(-0.29049761--0.29068936)×9.49855630020258e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49855630020258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49855630020258e-05×40589641000000     		ar = 644812.822233265m²