Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14867 / 8987
N 62.779863°
W 16.666260°
← 558.79 m → N 62.779863°
W 16.655273°

558.80 m

558.80 m
N 62.774837°
W 16.666260°
← 558.89 m →
312 279 m²
N 62.774837°
W 16.655273°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453720092773438 y=0.274276733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453720092773438 × 215)
    floor (0.453720092773438 × 32768)
    floor (14867.5)
    tx = 14867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274276733398438 × 215)
    floor (0.274276733398438 × 32768)
    floor (8987.5)
    ty = 8987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14867 / 8987 ti = "15/14867/8987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14867/8987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14867 ÷ 215
    14867 ÷ 32768
    x = 0.453704833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8987 ÷ 215
    8987 ÷ 32768
    y = 0.274261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.453704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09259033203125 × 3.1415926535
    Λ = -0.29088111
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.274261474609375 × 2 - 1) × π
    0.45147705078125 × 3.1415926535
    Φ = 1.41835698595822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29088111} λ = -0.29088111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41835698595822))-π/2
    2×atan(4.13032867428682)-π/2
    2×1.33325581959423-π/2
    2.66651163918847-1.57079632675
    φ = 1.09571531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29088111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.666260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09571531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.779863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14867 KachelY 8987 -0.29088111 1.09571531 -16.666260 62.779863
    Oben rechts KachelX + 1 14868 KachelY 8987 -0.29068936 1.09571531 -16.655273 62.779863
    Unten links KachelX 14867 KachelY + 1 8988 -0.29088111 1.09562760 -16.666260 62.774837
    Unten rechts KachelX + 1 14868 KachelY + 1 8988 -0.29068936 1.09562760 -16.655273 62.774837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.09571531-1.09562760) × R
    8.77100000000741e-05 × 6371000
    dl = 558.800410000472m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.09571531-1.09562760) × R
    8.77100000000741e-05 × 6371000
    dr = 558.800410000472m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29088111--0.29068936) × cos(1.09571531) × R
    0.000191749999999991 × 0.457410493323986 × 6371000
    do = 558.790612006417m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29088111--0.29068936) × cos(1.09562760) × R
    0.000191749999999991 × 0.457488488178965 × 6371000
    du = 558.885893582557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.09571531)-sin(1.09562760))×
    abs(λ12)×abs(0.457410493323986-0.457488488178965)×
    abs(-0.29068936--0.29088111)×7.79948549788356e-05×
    0.000191749999999991×7.79948549788356e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.79948549788356e-05×40589641000000
    ar = 312279.044986437m²