Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14867 / 15953
↖ ↑ ↗
← N 79.391492°
W139.166565°		 ← 56.23 m → N 79.391492°
W139.163818°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
N 79.390986°
W139.166565°		 ← 56.23 m →
3 163 m²		 N 79.390986°
W139.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113430023193359 y=0.121715545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113430023193359 × 217)
    floor (0.113430023193359 × 131072)
    floor (14867.5)     		tx = 14867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121715545654297 × 217)
    floor (0.121715545654297 × 131072)
    floor (15953.5)     		ty = 15953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14867 / 15953 ti = "17/14867/15953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14867/15953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14867 ÷ 217
    14867 ÷ 131072     		x = 0.113426208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15953 ÷ 217
    15953 ÷ 131072     		y = 0.121711730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113426208496094 × 2 - 1) × π
    -0.773147583007812 × 3.1415926535     		Λ = -2.42891477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121711730957031 × 2 - 1) × π
    0.756576538085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.37685529386124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42891477} λ = -2.42891477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37685529386124))-π/2
    2×atan(10.7709779894044)-π/2
    2×1.47821963111248-π/2
    2.95643926222495-1.57079632675     		φ = 1.38564294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42891477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.166565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38564294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.391492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14867 KachelY 15953 -2.42891477 1.38564294 -139.166565 79.391492
    Oben rechts KachelX + 1 14868 KachelY 15953 -2.42886683 1.38564294 -139.163818 79.391492
    Unten links KachelX 14867 KachelY + 1 15954 -2.42891477 1.38563411 -139.166565 79.390986
    Unten rechts KachelX + 1 14868 KachelY + 1 15954 -2.42886683 1.38563411 -139.163818 79.390986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38564294-1.38563411) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dl = 56.2559300004506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38564294-1.38563411) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dr = 56.2559300004506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42891477--2.42886683) × cos(1.38564294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18409730080462 × 6371000     		do = 56.2280543302168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42891477--2.42886683) × cos(1.38563411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184105979875296 × 6371000     		du = 56.2307051418004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38564294)-sin(1.38563411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18409730080462-0.184105979875296)×R²
    abs(-2.42886683--2.42891477)×8.67907067580997e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.67907067580997e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.67907067580997e-06×40589641000000     		ar = 3163.23605054587m²