Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14866 / 15954
↖ ↑ ↗
← N 79.390986°
W139.169311°		 ← 56.22 m → N 79.390986°
W139.166565°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
N 79.390481°
W139.169311°		 ← 56.22 m →
3 163 m²		 N 79.390481°
W139.166565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113422393798828 y=0.121723175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113422393798828 × 217)
    floor (0.113422393798828 × 131072)
    floor (14866.5)     		tx = 14866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121723175048828 × 217)
    floor (0.121723175048828 × 131072)
    floor (15954.5)     		ty = 15954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14866 / 15954 ti = "17/14866/15954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14866/15954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14866 ÷ 217
    14866 ÷ 131072     		x = 0.113418579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15954 ÷ 217
    15954 ÷ 131072     		y = 0.121719360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113418579101562 × 2 - 1) × π
    -0.773162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42896270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121719360351562 × 2 - 1) × π
    0.756561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37680735696162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42896270} λ = -2.42896270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37680735696162))-π/2
    2×atan(10.7704616744891)-π/2
    2×1.4782152184815-π/2
    2.956430436963-1.57079632675     		φ = 1.38563411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42896270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.169311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38563411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.390986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14866 KachelY 15954 -2.42896270 1.38563411 -139.169311 79.390986
    Oben rechts KachelX + 1 14867 KachelY 15954 -2.42891477 1.38563411 -139.166565 79.390986
    Unten links KachelX 14866 KachelY + 1 15955 -2.42896270 1.38562528 -139.169311 79.390481
    Unten rechts KachelX + 1 14867 KachelY + 1 15955 -2.42891477 1.38562528 -139.166565 79.390481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38563411-1.38562528) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dl = 56.2559300004506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38563411-1.38562528) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dr = 56.2559300004506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42896270--2.42891477) × cos(1.38563411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184105979875296 × 6371000     		do = 56.2189757498939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42896270--2.42891477) × cos(1.38562528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184114658931617 × 6371000     		du = 56.2216260041506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38563411)-sin(1.38562528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184105979875296-0.184114658931617)×R²
    abs(-2.42891477--2.42896270)×8.67905632126464e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.67905632126464e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.67905632126464e-06×40589641000000     		ar = 3162.72531069599m²