Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14865 / 21481
↖ ↑ ↗
← S 48.756188°
W 16.688232°		 ← 805.38 m → S 48.756188°
W 16.677246°		 →
↑
805.36 m
↓
↑
805.36 m
↓
S 48.763431°
W 16.688232°		 ← 805.27 m →
648 575 m²		 S 48.763431°
W 16.677246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453659057617188 y=0.655563354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453659057617188 × 215)
    floor (0.453659057617188 × 32768)
    floor (14865.5)     		tx = 14865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655563354492188 × 215)
    floor (0.655563354492188 × 32768)
    floor (21481.5)     		ty = 21481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14865 / 21481 ti = "15/14865/21481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14865/21481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14865 ÷ 215
    14865 ÷ 32768     		x = 0.453643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21481 ÷ 215
    21481 ÷ 32768     		y = 0.655548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.09271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29126460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.31109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977337509453705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29126460} λ = -0.29126460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977337509453705))-π/2
    2×atan(0.376311692548552)-π/2
    2×0.359920151089248-π/2
    0.719840302178496-1.57079632675     		φ = -0.85095602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29126460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.688232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85095602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.756188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14865 KachelY 21481 -0.29126460 -0.85095602 -16.688232 -48.756188
    Oben rechts KachelX + 1 14866 KachelY 21481 -0.29107285 -0.85095602 -16.677246 -48.756188
    Unten links KachelX 14865 KachelY + 1 21482 -0.29126460 -0.85108243 -16.688232 -48.763431
    Unten rechts KachelX + 1 14866 KachelY + 1 21482 -0.29107285 -0.85108243 -16.677246 -48.763431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85095602--0.85108243) × R
    0.00012640999999991 × 6371000     		dl = 805.358109999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85095602--0.85108243) × R
    0.00012640999999991 × 6371000     		dr = 805.358109999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29126460--0.29107285) × cos(-0.85095602) × R
    0.000191749999999991 × 0.659264605297694 × 6371000     		do = 805.383517967382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29126460--0.29107285) × cos(-0.85108243) × R
    0.000191749999999991 × 0.659169550958705 × 6371000     		du = 805.267395855989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85095602)-sin(-0.85108243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659264605297694-0.659169550958705)×R²
    abs(-0.29107285--0.29126460)×9.50543389894865e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50543389894865e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50543389894865e-05×40589641000000     		ar = 648575.388776411m²