Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14863 / 8710
↖ ↑ ↗
← N 78.623506°
W 98.355103°		 ← 120.49 m → N 78.623506°
W 98.349609°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 78.622423°
W 98.355103°		 ← 120.50 m →
14 517 m²		 N 78.622423°
W 98.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226799011230469 y=0.132911682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226799011230469 × 216)
    floor (0.226799011230469 × 65536)
    floor (14863.5)     		tx = 14863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132911682128906 × 216)
    floor (0.132911682128906 × 65536)
    floor (8710.5)     		ty = 8710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14863 / 8710 ti = "16/14863/8710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14863/8710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14863 ÷ 216
    14863 ÷ 65536     		x = 0.226791381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8710 ÷ 216
    8710 ÷ 65536     		y = 0.132904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226791381835938 × 2 - 1) × π
    -0.546417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71662038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132904052734375 × 2 - 1) × π
    0.73419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30653186211862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71662038} λ = -1.71662038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30653186211862))-π/2
    2×atan(10.0395456787442)-π/2
    2×1.47151768859029-π/2
    2.94303537718058-1.57079632675     		φ = 1.37223905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71662038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37223905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.623506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14863 KachelY 8710 -1.71662038 1.37223905 -98.355103 78.623506
    Oben rechts KachelX + 1 14864 KachelY 8710 -1.71652450 1.37223905 -98.349609 78.623506
    Unten links KachelX 14863 KachelY + 1 8711 -1.71662038 1.37222014 -98.355103 78.622423
    Unten rechts KachelX + 1 14864 KachelY + 1 8711 -1.71652450 1.37222014 -98.349609 78.622423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37223905-1.37222014) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37223905-1.37222014) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71662038--1.71652450) × cos(1.37223905) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197255159731052 × 6371000     		do = 120.49360625927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71662038--1.71652450) × cos(1.37222014) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197273698155556 × 6371000     		du = 120.504930483315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37223905)-sin(1.37222014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197255159731052-0.197273698155556)×R²
    abs(-1.71652450--1.71662038)×1.85384245039721e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85384245039721e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85384245039721e-05×40589641000000     		ar = 14517.2228618562m²