Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14863 / 14862
↖ ↑ ↗
← S 81.140715°
E146.579590°		 ← 376.28 m → S 81.140715°
E146.601562°		 →
↑
376.21 m
↓
↑
376.21 m
↓
S 81.144099°
E146.579590°		 ← 376.13 m →
141 531 m²		 S 81.144099°
E146.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907196044921875 y=0.907135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907196044921875 × 214)
    floor (0.907196044921875 × 16384)
    floor (14863.5)     		tx = 14863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907135009765625 × 214)
    floor (0.907135009765625 × 16384)
    floor (14862.5)     		ty = 14862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14863 / 14862 ti = "14/14863/14862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14863/14862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14863 ÷ 214
    14863 ÷ 16384     		x = 0.90716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14862 ÷ 214
    14862 ÷ 16384     		y = 0.9071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90716552734375 × 2 - 1) × π
    0.8143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55829646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5579129637262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55829646} λ = 2.55829646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5579129637262))-π/2
    2×atan(0.0774662467168446)-π/2
    2×0.0773118434669037-π/2
    0.154623686933807-1.57079632675     		φ = -1.41617264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55829646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.579590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41617264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.140715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14863 KachelY 14862 2.55829646 -1.41617264 146.579590 -81.140715
    Oben rechts KachelX + 1 14864 KachelY 14862 2.55867995 -1.41617264 146.601562 -81.140715
    Unten links KachelX 14863 KachelY + 1 14863 2.55829646 -1.41623169 146.579590 -81.144099
    Unten rechts KachelX + 1 14864 KachelY + 1 14863 2.55867995 -1.41623169 146.601562 -81.144099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41617264--1.41623169) × R
    5.90499999999494e-05 × 6371000     		dl = 376.207549999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41617264--1.41623169) × R
    5.90499999999494e-05 × 6371000     		dr = 376.207549999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55829646-2.55867995) × cos(-1.41617264) × R
    0.000383489999999931 × 0.154008286583085 × 6371000     		do = 376.275323562285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55829646-2.55867995) × cos(-1.41623169) × R
    0.000383489999999931 × 0.153949940807326 × 6371000     		du = 376.132772300017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41617264)-sin(-1.41623169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154008286583085-0.153949940807326)×R²
    abs(2.55867995-2.55829646)×5.83457757588612e-05×R²
    0.000383489999999931×5.83457757588612e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.83457757588612e-05×40589641000000     		ar = 141530.803213644m²