Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14862 / 20606
↖ ↑ ↗
← S 42.016652°
W 16.721191°		 ← 907.57 m → S 42.016652°
W 16.710205°		 →
↑
907.49 m
↓
↑
907.49 m
↓
S 42.024813°
W 16.721191°		 ← 907.45 m →
823 553 m²		 S 42.024813°
W 16.710205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453567504882812 y=0.628860473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453567504882812 × 215)
    floor (0.453567504882812 × 32768)
    floor (14862.5)     		tx = 14862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628860473632812 × 215)
    floor (0.628860473632812 × 32768)
    floor (20606.5)     		ty = 20606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14862 / 20606 ti = "15/14862/20606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14862/20606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14862 ÷ 215
    14862 ÷ 32768     		x = 0.45355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20606 ÷ 215
    20606 ÷ 32768     		y = 0.62884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45355224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29183984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.809558360783508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29183984} λ = -0.29183984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809558360783508))-π/2
    2×atan(0.44505457638086)-π/2
    2×0.418733705808651-π/2
    0.837467411617303-1.57079632675     		φ = -0.73332892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29183984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.721191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73332892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.016652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14862 KachelY 20606 -0.29183984 -0.73332892 -16.721191 -42.016652
    Oben rechts KachelX + 1 14863 KachelY 20606 -0.29164810 -0.73332892 -16.710205 -42.016652
    Unten links KachelX 14862 KachelY + 1 20607 -0.29183984 -0.73347136 -16.721191 -42.024813
    Unten rechts KachelX + 1 14863 KachelY + 1 20607 -0.29164810 -0.73347136 -16.710205 -42.024813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73332892--0.73347136) × R
    0.000142439999999966 × 6371000     		dl = 907.485239999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73332892--0.73347136) × R
    0.000142439999999966 × 6371000     		dr = 907.485239999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29183984--0.29164810) × cos(-0.73332892) × R
    0.000191739999999996 × 0.74295032188077 × 6371000     		do = 907.569940644656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29183984--0.29164810) × cos(-0.73347136) × R
    0.000191739999999996 × 0.742854972619975 × 6371000     		du = 907.453464319911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73332892)-sin(-0.73347136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74295032188077-0.742854972619975)×R²
    abs(-0.29164810--0.29183984)×9.53492607955742e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53492607955742e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53492607955742e-05×40589641000000     		ar = 823553.476522254m²