Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14861 / 8989
↖ ↑ ↗
← N 62.769811°
W 16.732178°		 ← 558.98 m → N 62.769811°
W 16.721191°		 →
↑
559.06 m
↓
↑
559.06 m
↓
N 62.764783°
W 16.732178°		 ← 559.08 m →
312 528 m²		 N 62.764783°
W 16.721191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453536987304688 y=0.274337768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453536987304688 × 215)
    floor (0.453536987304688 × 32768)
    floor (14861.5)     		tx = 14861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274337768554688 × 215)
    floor (0.274337768554688 × 32768)
    floor (8989.5)     		ty = 8989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14861 / 8989 ti = "15/14861/8989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14861/8989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14861 ÷ 215
    14861 ÷ 32768     		x = 0.453521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8989 ÷ 215
    8989 ÷ 32768     		y = 0.274322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453521728515625 × 2 - 1) × π
    -0.09295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29203159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274322509765625 × 2 - 1) × π
    0.45135498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41797349076126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29203159} λ = -0.29203159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41797349076126))-π/2
    2×atan(4.1287450167603)-π/2
    2×1.33316809727456-π/2
    2.66633619454913-1.57079632675     		φ = 1.09553987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29203159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.732178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09553987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.769811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14861 KachelY 8989 -0.29203159 1.09553987 -16.732178 62.769811
    Oben rechts KachelX + 1 14862 KachelY 8989 -0.29183984 1.09553987 -16.721191 62.769811
    Unten links KachelX 14861 KachelY + 1 8990 -0.29203159 1.09545212 -16.732178 62.764783
    Unten rechts KachelX + 1 14862 KachelY + 1 8990 -0.29183984 1.09545212 -16.721191 62.764783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09553987-1.09545212) × R
    8.77500000000531e-05 × 6371000     		dl = 559.055250000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09553987-1.09545212) × R
    8.77500000000531e-05 × 6371000     		dr = 559.055250000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29203159--0.29183984) × cos(1.09553987) × R
    0.000191749999999991 × 0.457566497297973 × 6371000     		do = 558.981192584195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29203159--0.29183984) × cos(1.09545212) × R
    0.000191749999999991 × 0.457644520678001 × 6371000     		du = 559.076509007655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09553987)-sin(1.09545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457566497297973-0.457644520678001)×R²
    abs(-0.29183984--0.29203159)×7.80233800282137e-05×R²
    0.000191749999999991×7.80233800282137e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.80233800282137e-05×40589641000000     		ar = 312528.014139353m²