Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14861 / 20381
↖ ↑ ↗
← S 40.153687°
W 16.732178°		 ← 933.72 m → S 40.153687°
W 16.721191°		 →
↑
933.67 m
↓
↑
933.67 m
↓
S 40.162083°
W 16.732178°		 ← 933.60 m →
871 733 m²		 S 40.162083°
W 16.721191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453536987304688 y=0.621994018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453536987304688 × 215)
    floor (0.453536987304688 × 32768)
    floor (14861.5)     		tx = 14861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621994018554688 × 215)
    floor (0.621994018554688 × 32768)
    floor (20381.5)     		ty = 20381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14861 / 20381 ti = "15/14861/20381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14861/20381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14861 ÷ 215
    14861 ÷ 32768     		x = 0.453521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20381 ÷ 215
    20381 ÷ 32768     		y = 0.621978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453521728515625 × 2 - 1) × π
    -0.09295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29203159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.24395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.766415151125458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29203159} λ = -0.29203159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766415151125458))-π/2
    2×atan(0.46467587886959)-π/2
    2×0.434991142164179-π/2
    0.869982284328357-1.57079632675     		φ = -0.70081404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29203159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.732178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70081404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.153687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14861 KachelY 20381 -0.29203159 -0.70081404 -16.732178 -40.153687
    Oben rechts KachelX + 1 14862 KachelY 20381 -0.29183984 -0.70081404 -16.721191 -40.153687
    Unten links KachelX 14861 KachelY + 1 20382 -0.29203159 -0.70096059 -16.732178 -40.162083
    Unten rechts KachelX + 1 14862 KachelY + 1 20382 -0.29183984 -0.70096059 -16.721191 -40.162083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70081404--0.70096059) × R
    0.000146549999999968 × 6371000     		dl = 933.670049999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70081404--0.70096059) × R
    0.000146549999999968 × 6371000     		dr = 933.670049999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29203159--0.29183984) × cos(-0.70081404) × R
    0.000191749999999991 × 0.764317514960711 × 6371000     		do = 933.720275738421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29203159--0.29183984) × cos(-0.70096059) × R
    0.000191749999999991 × 0.764223005438881 × 6371000     		du = 933.604819197055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70081404)-sin(-0.70096059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764317514960711-0.764223005438881)×R²
    abs(-0.29183984--0.29203159)×9.45095218299885e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45095218299885e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45095218299885e-05×40589641000000     		ar = 871732.758937514m²