Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14860 / 20541
↖ ↑ ↗
← S 41.483891°
W 16.743164°		 ← 915.18 m → S 41.483891°
W 16.732178°		 →
↑
915.07 m
↓
↑
915.07 m
↓
S 41.492121°
W 16.743164°		 ← 915.07 m →
837 399 m²		 S 41.492121°
W 16.732178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453506469726562 y=0.626876831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453506469726562 × 215)
    floor (0.453506469726562 × 32768)
    floor (14860.5)     		tx = 14860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626876831054688 × 215)
    floor (0.626876831054688 × 32768)
    floor (20541.5)     		ty = 20541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14860 / 20541 ti = "15/14860/20541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14860/20541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14860 ÷ 215
    14860 ÷ 32768     		x = 0.4534912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20541 ÷ 215
    20541 ÷ 32768     		y = 0.626861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4534912109375 × 2 - 1) × π
    -0.093017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29222334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.25372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.797094766882294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29222334} λ = -0.29222334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797094766882294))-π/2
    2×atan(0.450636267595689)-π/2
    2×0.423382920789379-π/2
    0.846765841578758-1.57079632675     		φ = -0.72403049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29222334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.743164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72403049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.483891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14860 KachelY 20541 -0.29222334 -0.72403049 -16.743164 -41.483891
    Oben rechts KachelX + 1 14861 KachelY 20541 -0.29203159 -0.72403049 -16.732178 -41.483891
    Unten links KachelX 14860 KachelY + 1 20542 -0.29222334 -0.72417412 -16.743164 -41.492121
    Unten rechts KachelX + 1 14861 KachelY + 1 20542 -0.29203159 -0.72417412 -16.732178 -41.492121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72403049--0.72417412) × R
    0.000143630000000061 × 6371000     		dl = 915.06673000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72403049--0.72417412) × R
    0.000143630000000061 × 6371000     		dr = 915.06673000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29222334--0.29203159) × cos(-0.72403049) × R
    0.000191749999999991 × 0.74914198653261 × 6371000     		do = 915.181254571163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29222334--0.29203159) × cos(-0.72417412) × R
    0.000191749999999991 × 0.749046836935897 × 6371000     		du = 915.065016089197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72403049)-sin(-0.72417412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74914198653261-0.749046836935897)×R²
    abs(-0.29203159--0.29222334)×9.51495967124183e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51495967124183e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51495967124183e-05×40589641000000     		ar = 837398.736433633m²