Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14860 / 14884
↖ ↑ ↗
← S 81.214853°
E146.513672°		 ← 373.16 m → S 81.214853°
E146.535645°		 →
↑
373.09 m
↓
↑
373.09 m
↓
S 81.218208°
E146.513672°		 ← 373.02 m →
139 195 m²		 S 81.218208°
E146.535645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907012939453125 y=0.908477783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907012939453125 × 214)
    floor (0.907012939453125 × 16384)
    floor (14860.5)     		tx = 14860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908477783203125 × 214)
    floor (0.908477783203125 × 16384)
    floor (14884.5)     		ty = 14884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14860 / 14884 ti = "14/14860/14884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14860/14884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14860 ÷ 214
    14860 ÷ 16384     		x = 0.906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14884 ÷ 214
    14884 ÷ 16384     		y = 0.908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55714597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.81689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56634985805933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55714597} λ = 2.55714597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56634985805933))-π/2
    2×atan(0.076815421511193)-π/2
    2×0.0766648682443673-π/2
    0.153329736488735-1.57079632675     		φ = -1.41746659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55714597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41746659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.214853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14860 KachelY 14884 2.55714597 -1.41746659 146.513672 -81.214853
    Oben rechts KachelX + 1 14861 KachelY 14884 2.55752947 -1.41746659 146.535645 -81.214853
    Unten links KachelX 14860 KachelY + 1 14885 2.55714597 -1.41752515 146.513672 -81.218208
    Unten rechts KachelX + 1 14861 KachelY + 1 14885 2.55752947 -1.41752515 146.535645 -81.218208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41746659--1.41752515) × R
    5.85599999998188e-05 × 6371000     		dl = 373.085759998845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41746659--1.41752515) × R
    5.85599999998188e-05 × 6371000     		dr = 373.085759998845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55714597-2.55752947) × cos(-1.41746659) × R
    0.00038349999999987 × 0.152729645409231 × 6371000     		do = 373.161058940871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55714597-2.55752947) × cos(-1.41752515) × R
    0.00038349999999987 × 0.152671772172846 × 6371000     		du = 373.019658506687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41746659)-sin(-1.41752515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152729645409231-0.152671772172846)×R²
    abs(2.55752947-2.55714597)×5.78732363844814e-05×R²
    0.00038349999999987×5.78732363844814e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.78732363844814e-05×40589641000000     		ar = 139194.700074165m²