Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14860 / 14707
↖ ↑ ↗
← S 80.600499°
E146.513672°		 ← 399.03 m → S 80.600499°
E146.535645°		 →
↑
398.95 m
↓
↑
398.95 m
↓
S 80.604087°
E146.513672°		 ← 398.88 m →
159 164 m²		 S 80.604087°
E146.535645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907012939453125 y=0.897674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907012939453125 × 214)
    floor (0.907012939453125 × 16384)
    floor (14860.5)     		tx = 14860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897674560546875 × 214)
    floor (0.897674560546875 × 16384)
    floor (14707.5)     		ty = 14707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14860 / 14707 ti = "14/14860/14707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14860/14707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14860 ÷ 214
    14860 ÷ 16384     		x = 0.906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14707 ÷ 214
    14707 ÷ 16384     		y = 0.89764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55714597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49847120819733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55714597} λ = 2.55714597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49847120819733))-π/2
    2×atan(0.0822105854705281)-π/2
    2×0.0820261239639468-π/2
    0.164052247927894-1.57079632675     		φ = -1.40674408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55714597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40674408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.600499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14860 KachelY 14707 2.55714597 -1.40674408 146.513672 -80.600499
    Oben rechts KachelX + 1 14861 KachelY 14707 2.55752947 -1.40674408 146.535645 -80.600499
    Unten links KachelX 14860 KachelY + 1 14708 2.55714597 -1.40680670 146.513672 -80.604087
    Unten rechts KachelX + 1 14861 KachelY + 1 14708 2.55752947 -1.40680670 146.535645 -80.604087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40674408--1.40680670) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dl = 398.952020000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40674408--1.40680670) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dr = 398.952020000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55714597-2.55752947) × cos(-1.40674408) × R
    0.00038349999999987 × 0.163317376203902 × 6371000     		do = 399.02983395527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55714597-2.55752947) × cos(-1.40680670) × R
    0.00038349999999987 × 0.163255596645971 × 6371000     		du = 398.878889289637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40674408)-sin(-1.40680670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163317376203902-0.163255596645971)×R²
    abs(2.55752947-2.55714597)×6.17795579310187e-05×R²
    0.00038349999999987×6.17795579310187e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.17795579310187e-05×40589641000000     		ar = 159163.648508056m²