Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14857 / 21498
↖ ↑ ↗
← S 48.879167°
W 16.776123°		 ← 803.37 m → S 48.879167°
W 16.765137°		 →
↑
803.38 m
↓
↑
803.38 m
↓
S 48.886392°
W 16.776123°		 ← 803.25 m →
645 366 m²		 S 48.886392°
W 16.765137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453414916992188 y=0.656082153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453414916992188 × 215)
    floor (0.453414916992188 × 32768)
    floor (14857.5)     		tx = 14857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656082153320312 × 215)
    floor (0.656082153320312 × 32768)
    floor (21498.5)     		ty = 21498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14857 / 21498 ti = "15/14857/21498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14857/21498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14857 ÷ 215
    14857 ÷ 32768     		x = 0.453399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21498 ÷ 215
    21498 ÷ 32768     		y = 0.65606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453399658203125 × 2 - 1) × π
    -0.09320068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29279858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.980597218627869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29279858} λ = -0.29279858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980597218627869))-π/2
    2×atan(0.375087022989719)-π/2
    2×0.358846962215662-π/2
    0.717693924431324-1.57079632675     		φ = -0.85310240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29279858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.776123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85310240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.879167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14857 KachelY 21498 -0.29279858 -0.85310240 -16.776123 -48.879167
    Oben rechts KachelX + 1 14858 KachelY 21498 -0.29260684 -0.85310240 -16.765137 -48.879167
    Unten links KachelX 14857 KachelY + 1 21499 -0.29279858 -0.85322850 -16.776123 -48.886392
    Unten rechts KachelX + 1 14858 KachelY + 1 21499 -0.29260684 -0.85322850 -16.765137 -48.886392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85310240--0.85322850) × R
    0.000126099999999907 × 6371000     		dl = 803.383099999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85310240--0.85322850) × R
    0.000126099999999907 × 6371000     		dr = 803.383099999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29279858--0.29260684) × cos(-0.85310240) × R
    0.000191739999999996 × 0.657649201166332 × 6371000     		do = 803.368178045313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29279858--0.29260684) × cos(-0.85322850) × R
    0.000191739999999996 × 0.657554201741365 × 6371000     		du = 803.25212907146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85310240)-sin(-0.85322850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657649201166332-0.657554201741365)×R²
    abs(-0.29260684--0.29279858)×9.4999424966713e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4999424966713e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4999424966713e-05×40589641000000     		ar = 645365.802282434m²