Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14857 / 14882
↖ ↑ ↗
← S 81.208139°
E146.447754°		 ← 373.43 m → S 81.208139°
E146.469726°		 →
↑
373.40 m
↓
↑
373.40 m
↓
S 81.211497°
E146.447754°		 ← 373.29 m →
139 416 m²		 S 81.211497°
E146.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906829833984375 y=0.908355712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906829833984375 × 214)
    floor (0.906829833984375 × 16384)
    floor (14857.5)     		tx = 14857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908355712890625 × 214)
    floor (0.908355712890625 × 16384)
    floor (14882.5)     		ty = 14882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14857 / 14882 ti = "14/14857/14882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14857/14882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14857 ÷ 214
    14857 ÷ 16384     		x = 0.90679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14882 ÷ 214
    14882 ÷ 16384     		y = 0.9083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90679931640625 × 2 - 1) × π
    0.8135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55599549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56558286766541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55599549} λ = 2.55599549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56558286766541))-π/2
    2×atan(0.0768743608016425)-π/2
    2×0.0767234615333839-π/2
    0.153446923066768-1.57079632675     		φ = -1.41734940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55599549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41734940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.208139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14857 KachelY 14882 2.55599549 -1.41734940 146.447754 -81.208139
    Oben rechts KachelX + 1 14858 KachelY 14882 2.55637898 -1.41734940 146.469726 -81.208139
    Unten links KachelX 14857 KachelY + 1 14883 2.55599549 -1.41740801 146.447754 -81.211497
    Unten rechts KachelX + 1 14858 KachelY + 1 14883 2.55637898 -1.41740801 146.469726 -81.211497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41734940--1.41740801) × R
    5.8609999999959e-05 × 6371000     		dl = 373.404309999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41734940--1.41740801) × R
    5.8609999999959e-05 × 6371000     		dr = 373.404309999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55599549-2.55637898) × cos(-1.41734940) × R
    0.000383489999999931 × 0.152845459488054 × 6371000     		do = 373.434287205492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55599549-2.55637898) × cos(-1.41740801) × R
    0.000383489999999931 × 0.152787537887045 × 6371000     		du = 373.292772293247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41734940)-sin(-1.41740801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152845459488054-0.152787537887045)×R²
    abs(2.55637898-2.55599549)×5.79216010090089e-05×R²
    0.000383489999999931×5.79216010090089e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.79216010090089e-05×40589641000000     		ar = 139415.551245595m²