Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14856 / 14616
↖ ↑ ↗
← S 80.268259°
E146.425781°		 ← 413 m → S 80.268259°
E146.447754°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
S 80.271972°
E146.425781°		 ← 412.84 m →
170 498 m²		 S 80.271972°
E146.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906768798828125 y=0.892120361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906768798828125 × 214)
    floor (0.906768798828125 × 16384)
    floor (14856.5)     		tx = 14856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892120361328125 × 214)
    floor (0.892120361328125 × 16384)
    floor (14616.5)     		ty = 14616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14856 / 14616 ti = "14/14856/14616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14856/14616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14856 ÷ 214
    14856 ÷ 16384     		x = 0.90673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14616 ÷ 214
    14616 ÷ 16384     		y = 0.89208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55561199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89208984375 × 2 - 1) × π
    -0.7841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.46357314527393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55561199} λ = 2.55561199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46357314527393))-π/2
    2×atan(0.0851302242167317)-π/2
    2×0.0849254631974339-π/2
    0.169850926394868-1.57079632675     		φ = -1.40094540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55561199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40094540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.268259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14856 KachelY 14616 2.55561199 -1.40094540 146.425781 -80.268259
    Oben rechts KachelX + 1 14857 KachelY 14616 2.55599549 -1.40094540 146.447754 -80.268259
    Unten links KachelX 14856 KachelY + 1 14617 2.55561199 -1.40101021 146.425781 -80.271972
    Unten rechts KachelX + 1 14857 KachelY + 1 14617 2.55599549 -1.40101021 146.447754 -80.271972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40094540--1.40101021) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40094540--1.40101021) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55561199-2.55599549) × cos(-1.40094540) × R
    0.00038349999999987 × 0.169035422907582 × 6371000     		do = 413.000614528361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55561199-2.55599549) × cos(-1.40101021) × R
    0.00038349999999987 × 0.168971545170046 × 6371000     		du = 412.844543425611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40094540)-sin(-1.40101021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169035422907582-0.168971545170046)×R²
    abs(2.55599549-2.55561199)×6.38777375359112e-05×R²
    0.00038349999999987×6.38777375359112e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.38777375359112e-05×40589641000000     		ar = 170497.595199437m²