Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14855 / 8990
↖ ↑ ↗
← N 62.764783°
W 16.798096°		 ← 559.08 m → N 62.764783°
W 16.787109°		 →
↑
559.12 m
↓
↑
559.12 m
↓
N 62.759755°
W 16.798096°		 ← 559.17 m →
312 617 m²		 N 62.759755°
W 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453353881835938 y=0.274368286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453353881835938 × 215)
    floor (0.453353881835938 × 32768)
    floor (14855.5)     		tx = 14855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274368286132812 × 215)
    floor (0.274368286132812 × 32768)
    floor (8990.5)     		ty = 8990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14855 / 8990 ti = "15/14855/8990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14855/8990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14855 ÷ 215
    14855 ÷ 32768     		x = 0.453338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8990 ÷ 215
    8990 ÷ 32768     		y = 0.27435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.09332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29318208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    0.4512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41778174316278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29318208} λ = -0.29318208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41778174316278))-π/2
    2×atan(4.12795341571482)-π/2
    2×1.33312422489597-π/2
    2.66624844979195-1.57079632675     		φ = 1.09545212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29318208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.798096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09545212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.764783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14855 KachelY 8990 -0.29318208 1.09545212 -16.798096 62.764783
    Oben rechts KachelX + 1 14856 KachelY 8990 -0.29299033 1.09545212 -16.787109 62.764783
    Unten links KachelX 14855 KachelY + 1 8991 -0.29318208 1.09536436 -16.798096 62.759755
    Unten rechts KachelX + 1 14856 KachelY + 1 8991 -0.29299033 1.09536436 -16.787109 62.759755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09545212-1.09536436) × R
    8.77599999999923e-05 × 6371000     		dl = 559.118959999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09545212-1.09536436) × R
    8.77599999999923e-05 × 6371000     		dr = 559.118959999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29318208--0.29299033) × cos(1.09545212) × R
    0.000191749999999991 × 0.457644520678001 × 6371000     		do = 559.076509007655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29318208--0.29299033) × cos(1.09536436) × R
    0.000191749999999991 × 0.457722549425089 × 6371000     		du = 559.171831987726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09545212)-sin(1.09536436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457644520678001-0.457722549425089)×R²
    abs(-0.29299033--0.29318208)×7.80287470876773e-05×R²
    0.000191749999999991×7.80287470876773e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.80287470876773e-05×40589641000000     		ar = 312616.924920459m²