Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14855 / 20652
↖ ↑ ↗
← S 42.391008°
W 16.798096°		 ← 902.26 m → S 42.391008°
W 16.787109°		 →
↑
902.20 m
↓
↑
902.20 m
↓
S 42.399122°
W 16.798096°		 ← 902.14 m →
813 960 m²		 S 42.399122°
W 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453353881835938 y=0.630264282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453353881835938 × 215)
    floor (0.453353881835938 × 32768)
    floor (14855.5)     		tx = 14855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630264282226562 × 215)
    floor (0.630264282226562 × 32768)
    floor (20652.5)     		ty = 20652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14855 / 20652 ti = "15/14855/20652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14855/20652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14855 ÷ 215
    14855 ÷ 32768     		x = 0.453338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20652 ÷ 215
    20652 ÷ 32768     		y = 0.6302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.09332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29318208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.818378750313599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29318208} λ = -0.29318208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818378750313599))-π/2
    2×atan(0.441146283327094)-π/2
    2×0.415466826670141-π/2
    0.830933653340282-1.57079632675     		φ = -0.73986267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29318208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.798096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73986267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.391008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14855 KachelY 20652 -0.29318208 -0.73986267 -16.798096 -42.391008
    Oben rechts KachelX + 1 14856 KachelY 20652 -0.29299033 -0.73986267 -16.787109 -42.391008
    Unten links KachelX 14855 KachelY + 1 20653 -0.29318208 -0.74000428 -16.798096 -42.399122
    Unten rechts KachelX + 1 14856 KachelY + 1 20653 -0.29299033 -0.74000428 -16.787109 -42.399122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73986267--0.74000428) × R
    0.000141610000000014 × 6371000     		dl = 902.197310000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73986267--0.74000428) × R
    0.000141610000000014 × 6371000     		dr = 902.197310000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29318208--0.29299033) × cos(-0.73986267) × R
    0.000191749999999991 × 0.738561151724616 × 6371000     		do = 902.255291471952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29318208--0.29299033) × cos(-0.74000428) × R
    0.000191749999999991 × 0.738465672770562 × 6371000     		du = 902.138650634131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73986267)-sin(-0.74000428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738561151724616-0.738465672770562)×R²
    abs(-0.29299033--0.29318208)×9.54789540538181e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54789540538181e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54789540538181e-05×40589641000000     		ar = 813959.681734627m²