Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14855 / 11405
↖ ↑ ↗
← N 47.894248°
W 16.798096°		 ← 819.11 m → N 47.894248°
W 16.787109°		 →
↑
819.18 m
↓
↑
819.18 m
↓
N 47.886881°
W 16.798096°		 ← 819.23 m →
671 049 m²		 N 47.886881°
W 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453353881835938 y=0.348068237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453353881835938 × 215)
    floor (0.453353881835938 × 32768)
    floor (14855.5)     		tx = 14855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348068237304688 × 215)
    floor (0.348068237304688 × 32768)
    floor (11405.5)     		ty = 11405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14855 / 11405 ti = "15/14855/11405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14855/11405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14855 ÷ 215
    14855 ÷ 32768     		x = 0.453338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11405 ÷ 215
    11405 ÷ 32768     		y = 0.348052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.09332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29318208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348052978515625 × 2 - 1) × π
    0.30389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.954711292833038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29318208} λ = -0.29318208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954711292833038))-π/2
    2×atan(2.59792043638921)-π/2
    2×1.20335432113003-π/2
    2.40670864226005-1.57079632675     		φ = 0.83591232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29318208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.798096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83591232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.894248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14855 KachelY 11405 -0.29318208 0.83591232 -16.798096 47.894248
    Oben rechts KachelX + 1 14856 KachelY 11405 -0.29299033 0.83591232 -16.787109 47.894248
    Unten links KachelX 14855 KachelY + 1 11406 -0.29318208 0.83578374 -16.798096 47.886881
    Unten rechts KachelX + 1 14856 KachelY + 1 11406 -0.29299033 0.83578374 -16.787109 47.886881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83591232-0.83578374) × R
    0.000128580000000045 × 6371000     		dl = 819.183180000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83591232-0.83578374) × R
    0.000128580000000045 × 6371000     		dr = 819.183180000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29318208--0.29299033) × cos(0.83591232) × R
    0.000191749999999991 × 0.670501103800183 × 6371000     		do = 819.110465570588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29318208--0.29299033) × cos(0.83578374) × R
    0.000191749999999991 × 0.670596492856325 × 6371000     		du = 819.226996585591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83591232)-sin(0.83578374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670501103800183-0.670596492856325)×R²
    abs(-0.29299033--0.29318208)×9.53890561414816e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53890561414816e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53890561414816e-05×40589641000000     		ar = 671049.247005578m²