Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14854 / 14860
↖ ↑ ↗
← N 79.930157°
W139.202271°		 ← 53.40 m → N 79.930157°
W139.199524°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.929677°
W139.202271°		 ← 53.41 m →
2 851 m²		 N 79.929677°
W139.199524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113330841064453 y=0.113376617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113330841064453 × 217)
    floor (0.113330841064453 × 131072)
    floor (14854.5)     		tx = 14854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113376617431641 × 217)
    floor (0.113376617431641 × 131072)
    floor (14860.5)     		ty = 14860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14854 / 14860 ti = "17/14854/14860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14854/14860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14854 ÷ 217
    14854 ÷ 131072     		x = 0.113327026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14860 ÷ 217
    14860 ÷ 131072     		y = 0.113372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113327026367188 × 2 - 1) × π
    -0.773345947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42953795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113372802734375 × 2 - 1) × π
    0.77325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42925032514597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42953795} λ = -2.42953795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42925032514597))-π/2
    2×atan(11.3503698028549)-π/2
    2×1.48292036945624-π/2
    2.96584073891248-1.57079632675     		φ = 1.39504441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42953795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.202271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39504441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.930157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14854 KachelY 14860 -2.42953795 1.39504441 -139.202271 79.930157
    Oben rechts KachelX + 1 14855 KachelY 14860 -2.42949001 1.39504441 -139.199524 79.930157
    Unten links KachelX 14854 KachelY + 1 14861 -2.42953795 1.39503603 -139.202271 79.929677
    Unten rechts KachelX + 1 14855 KachelY + 1 14861 -2.42949001 1.39503603 -139.199524 79.929677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39504441-1.39503603) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39504441-1.39503603) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42953795--2.42949001) × cos(1.39504441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17484852072828 × 6371000     		do = 53.4032388313052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42953795--2.42949001) × cos(1.39503603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174856771631137 × 6371000     		du = 53.4057588694161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39504441)-sin(1.39503603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17484852072828-0.174856771631137)×R²
    abs(-2.42949001--2.42953795)×8.25090285758168e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.25090285758168e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.25090285758168e-06×40589641000000     		ar = 2851.21172100353m²