Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14852 / 20628
↖ ↑ ↗
← S 42.195969°
W 16.831055°		 ← 905.05 m → S 42.195969°
W 16.820068°		 →
↑
904.94 m
↓
↑
904.94 m
↓
S 42.204107°
W 16.831055°		 ← 904.94 m →
818 964 m²		 S 42.204107°
W 16.820068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453262329101562 y=0.629531860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453262329101562 × 215)
    floor (0.453262329101562 × 32768)
    floor (14852.5)     		tx = 14852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629531860351562 × 215)
    floor (0.629531860351562 × 32768)
    floor (20628.5)     		ty = 20628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14852 / 20628 ti = "15/14852/20628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14852/20628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14852 ÷ 215
    14852 ÷ 32768     		x = 0.4532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20628 ÷ 215
    20628 ÷ 32768     		y = 0.6295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4532470703125 × 2 - 1) × π
    -0.093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29375732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813776807950073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29375732} λ = -0.29375732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813776807950073))-π/2
    2×atan(0.443181091540834)-π/2
    2×0.417168870298557-π/2
    0.834337740597114-1.57079632675     		φ = -0.73645859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29375732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.831055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73645859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.195969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14852 KachelY 20628 -0.29375732 -0.73645859 -16.831055 -42.195969
    Oben rechts KachelX + 1 14853 KachelY 20628 -0.29356557 -0.73645859 -16.820068 -42.195969
    Unten links KachelX 14852 KachelY + 1 20629 -0.29375732 -0.73660063 -16.831055 -42.204107
    Unten rechts KachelX + 1 14853 KachelY + 1 20629 -0.29356557 -0.73660063 -16.820068 -42.204107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73645859--0.73660063) × R
    0.000142039999999954 × 6371000     		dl = 904.93683999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73645859--0.73660063) × R
    0.000142039999999954 × 6371000     		dr = 904.93683999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29375732--0.29356557) × cos(-0.73645859) × R
    0.000191749999999991 × 0.740851852913124 × 6371000     		do = 905.053701953855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29375732--0.29356557) × cos(-0.73660063) × R
    0.000191749999999991 × 0.740756441650654 × 6371000     		du = 904.937143810729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73645859)-sin(-0.73660063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740851852913124-0.740756441650654)×R²
    abs(-0.29356557--0.29375732)×9.54112624703685e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54112624703685e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54112624703685e-05×40589641000000     		ar = 818963.699574022m²