Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14852 / 10756
↖ ↑ ↗
← N 76.179748°
W 98.415528°		 ← 145.92 m → N 76.179748°
W 98.410034°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
N 76.178436°
W 98.415528°		 ← 145.93 m →
21 290 m²		 N 76.178436°
W 98.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226631164550781 y=0.164131164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226631164550781 × 216)
    floor (0.226631164550781 × 65536)
    floor (14852.5)     		tx = 14852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164131164550781 × 216)
    floor (0.164131164550781 × 65536)
    floor (10756.5)     		ty = 10756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14852 / 10756 ti = "16/14852/10756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14852/10756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14852 ÷ 216
    14852 ÷ 65536     		x = 0.22662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10756 ÷ 216
    10756 ÷ 65536     		y = 0.16412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.5467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71767499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16412353515625 × 2 - 1) × π
    0.6717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11037406887335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71767499} λ = -1.71767499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11037406887335))-π/2
    2×atan(8.25132727210108)-π/2
    2×1.45019187358772-π/2
    2.90038374717544-1.57079632675     		φ = 1.32958742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71767499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.415528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32958742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.179748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14852 KachelY 10756 -1.71767499 1.32958742 -98.415528 76.179748
    Oben rechts KachelX + 1 14853 KachelY 10756 -1.71757911 1.32958742 -98.410034 76.179748
    Unten links KachelX 14852 KachelY + 1 10757 -1.71767499 1.32956452 -98.415528 76.178436
    Unten rechts KachelX + 1 14853 KachelY + 1 10757 -1.71757911 1.32956452 -98.410034 76.178436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32958742-1.32956452) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32958742-1.32956452) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71767499--1.71757911) × cos(1.32958742) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238876709523153 × 6371000     		do = 145.918191549652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71767499--1.71757911) × cos(1.32956452) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238898946503337 × 6371000     		du = 145.931775041908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32958742)-sin(1.32956452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238876709523153-0.238898946503337)×R²
    abs(-1.71757911--1.71767499)×2.22369801837763e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22369801837763e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22369801837763e-05×40589641000000     		ar = 21289.8567714383m²